以黎曼命名的这个函数，欧拉早先就研究过。对大于 1 的实数 $s$，级数

$$\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$$

是收敛的。欧拉算出了它的好几个值，比如 $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$，也就是巴塞尔问题的答案。

欧拉乘积

欧拉最深刻的发现是在 1737 年：同一个函数可以写成对所有素数的乘积：

$$\zeta(s) = \prod_{p \text{ 为素数}} \frac{1}{1 - p^{-s}} = \frac{1}{1 - 2^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 3^{-s}}\cdot\frac{1}{1 - 5^{-s}}\cdots$$

原因在于唯一分解定理。每个因子都是一个等比级数：$\frac{1}{1 - 2^{-s}} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{8^s} + \cdots$。把所有素数的因子乘起来再展开，每个整数 $n$ 恰好出现一次，作为它的各个素因子的幂的乘积。例如，$\frac{1}{12^s}$ 来自在 2 的因子中选 $\frac{1}{4^s}$、在 3 的因子中选 $\frac{1}{3^s}$。左边只谈整数，右边只谈素数。这个公式是连接二者的桥梁，欧拉正是用它给出了素数有无穷多个的新证明。

复变量

黎曼的博士论文研究的就是复变函数，他在 1859 年的论文中迈出了决定性的一步：让 $s$ 取复数，$s = \sigma + it$。只要实部 $\sigma$ 大于 1，级数仍然收敛，因为 $|n^{-s}| = n^{-\sigma}$。

但黎曼证明了更多：这个函数可以延拓到整个复平面，只有一个例外 $s = 1$，在那里它趋于无穷。在区域 $\sigma > 1$ 之外，级数不再收敛，但函数依然存在，由别的公式定义，这些公式在级数收敛的地方与级数一致。这叫作解析延拓：一个可导的复变函数完全由它的任何一小块决定。

s 与 1 − s 之间的对称

黎曼发现，延拓后的函数有一个了不起的对称性，即函数方程：

$$\zeta(s) = 2^s\,\pi^{s-1}\,\sin\!\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1 - s)\,\zeta(1 - s),$$

其中 $\Gamma$ 是推广阶乘的伽马函数。这个方程把 $s$ 处的值与 $1 - s$ 处的值联系起来，而 $1 - s$ 是 $s$ 关于竖直线 $\sigma = \frac{1}{2}$ 的对称点。这条直线叫作临界线，它将是黎曼猜想的核心。

例如，函数方程解释了为什么 $\zeta$ 在负偶数 $-2, -4, -6, \ldots$ 处为零：在这些点，正弦为零。这些是平凡零点。其余所有零点，即非平凡零点，都位于 $0 < \sigma < 1$ 的带状区域内，称为临界带。

练习：s = 2 的欧拉乘积

计算乘积 $\frac{1}{1 - 2^{-2}}\cdot\frac{1}{1 - 3^{-2}}\cdot\frac{1}{1 - 5^{-2}}\cdot\frac{1}{1 - 7^{-2}}$，并与 $\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$ 比较。

各因子为 $\frac{4}{3}$、$\frac{9}{8}$、$\frac{25}{24}$、$\frac{49}{48}$。乘积为 $\frac{4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 49}{3 \cdot 8 \cdot 24 \cdot 48} = \frac{44\,100}{27\,648} \approx 1.5951$。只用前四个素数，就已经达到了这个值的 97%，其余的素数补足剩下的部分。

练习：n 的复数次幂的大小

证明当 $s = \sigma + it$ 时 $|n^{-s}| = n^{-\sigma}$，并由此推出 $\sigma > 1$ 时 $\zeta(s)$ 的级数收敛。

$n^{-s} = e^{-s\ln n} = e^{-\sigma\ln n}\,e^{-it\ln n}$。第二个因子形如 $e^{i\theta}$，模为 1。所以 $|n^{-s}| = e^{-\sigma\ln n} = n^{-\sigma}$。模的级数是 $\sum n^{-\sigma}$，当 $\sigma > 1$ 时收敛。因此在这个区域内复级数绝对收敛。

来源： Leonhard Euler，“Variae observationes circa series infinitas”（1737；1744 年出版） · Bernhard Riemann，“Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”，Monatsberichte der Berliner Akademie（1859 年 11 月） · Harold M. Edwards，Riemann’s Zeta Function（1974） · John Derbyshire，Prime Obsession（2003）。

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