Teoria Dos Números

A vida de Joseph-Louis Lagrange

Linha do tempo 1736Nasce em 25 de janeiro, em Turim, capital do Reino da Sardenha, com o nome de Giuseppe Lodovico Lagrangia. 1753Aos 17 anos, lê um ensaio de Edmond Halley e decide dedicar-se à matemática. 1755Escreve a Euler o método que dará origem ao cálculo das variações. Em setembro, é nomeado professor da Escola de Artilharia de Turim, aos 19 anos. 1757Ajuda a fundar a sociedade científica que se tornará a Academia de Ciências de Turim. 1764Ganha o prêmio da Academia de Paris explicando por que a Lua mostra sempre a mesma face. 1766Muda-se para Berlim para ocupar o lugar de Euler na Academia de Frederico, o Grande. 1770Prova que todo número inteiro é soma de quatro quadrados e começa a estudar as permutações das raízes de uma equação. 1772Divide com Euler o prêmio de Paris pelo problema dos três corpos, onde aparecem os pontos de Lagrange. 1787Com a morte de Frederico, muda-se para Paris, onde passa a morar no Louvre. 1788Publica a Mecânica analítica. 1790Entra para a comissão que criará o sistema métrico. 1794Lavoisier é guilhotinado. Lagrange torna-se professor da nova Escola Politécnica. 1797Publica a Teoria das funções analíticas, com a notação $f'(x)$. 1808Napoleão o faz conde do Império. 1813Morre em 10 de abril, em Paris, e é sepultado no Panteão. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1736–1766 TurimAos 19 anos é professor da Escola de Artilharia. Escreve a Euler o método que dará origem ao cálculo das variações. 1766–1787 BerlimOcupa o lugar de Euler na Academia de Frederico, o Grande. Prova o teorema dos quatro quadrados e encontra os pontos de Lagrange. 1787–1813 ParisMora no Louvre, publica a Mecânica analítica, ajuda a criar o sistema métrico e ensina na Escola Politécnica. É sepultado no Panteão. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Lagrange em três capitais, Turim, Berlim e Paris. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

A vida de Sophie Germain

Linha do tempo 1776Nasce em 1º de abril, em Paris, filha de um rico comerciante de seda. 1789Aos 13 anos, durante a Revolução, lê a história da morte de Arquimedes e decide estudar matemática. 1794É fundada a Escola Politécnica, que não aceita mulheres. Sophie consegue as apostilas dos cursos e envia um trabalho a Lagrange com o nome de Monsieur Le Blanc. 1801Gauss publica as Investigações aritméticas. 1804Começa a escrever a Gauss, também como Monsieur Le Blanc. 1806Tropas francesas ocupam Braunschweig. Sophie pede a um general amigo que proteja Gauss, que assim descobre quem ela é. 1809A Academia de Ciências anuncia um prêmio para a teoria matemática das placas vibrantes. 1816Na terceira tentativa, ganha o prêmio. É a primeira mulher a receber um prêmio da Academia. 1823Legendre divulga o teorema dela sobre o último teorema de Fermat. 1829Descobre que tem câncer de mama. 1831Morre em 27 de junho, em Paris, aos 55 anos. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1776–1794 Rua Saint-DenisCresce na casa do pai, um rico comerciante de seda. Aos 13 anos, durante a Revolução, decide estudar matemática. 1794 Escola PolitécnicaA escola não aceita mulheres. Ela consegue as apostilas e manda um trabalho a Lagrange como Monsieur Le Blanc. 1804–1806 BraunschweigEscreve a Gauss sobre teoria dos números. Em 1806, com a cidade ocupada, pede a um general francês que proteja Gauss, que assim descobre quem ela é. 1816 Instituto de FrançaNa terceira tentativa, ganha o prêmio da Academia sobre as placas vibrantes. É a primeira mulher premiada pela Academia. 1831 Cemitério do Père-LachaiseMorre em 27 de junho, aos 55 anos. Diz-se que a certidão de óbito a registrou como rentière, pessoa que vive de rendas, e não como matemática. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. A Paris de Sophie Germain, com uma linha para as cartas enviadas a Gauss, em Braunschweig. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

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Euclides de Alexandria: o autor sem rosto

Linha do tempo c. 530 a.C.Pitágoras e os seus seguidores estudam números e figuras no sul da Itália. c. 387 a.C.Platão funda a Academia em Atenas. Na porta, segundo a tradição: “Não entre quem não souber geometria”. 331 a.C.Alexandre, o Grande, funda Alexandria, no delta do Nilo. c. 300 a.C.Euclides ensina em Alexandria, no tempo do rei Ptolomeu I, e escreve os Elementos. c. 250 a.C.Arquimedes, em Siracusa, cita os Elementos. c. 100 d.C.Um papiro encontrado em Oxirrinco, no Egito, guarda um trecho do Livro II. c. 370Teão de Alexandria prepara a edição que será copiada pelos séculos seguintes. c. 450Proclo escreve o seu comentário ao Livro I, com as poucas notícias sobre Euclides. c. 800Os Elementos são traduzidos para o árabe em Bagdá. c. 1120Adelardo de Bath traduz o texto árabe para o latim. 1482Primeira edição impressa, em Veneza, por Erhard Ratdolt. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ c. 387 a.C. AtenasPlatão funda a Academia. A geometria que Euclides vai organizar nasce nas escolas gregas. c. 300 a.C. AlexandriaEuclides ensina no tempo de Ptolomeu I e escreve os treze livros dos Elementos. c. 250 a.C. SiracusaArquimedes já cita os Elementos nas suas obras. c. 100 OxirrincoUm papiro encontrado no lixo da cidade guarda um trecho do Livro II, com uma figura. c. 370 AlexandriaTeão de Alexandria prepara a edição que será copiada durante mil anos. c. 450 AtenasProclo escreve o comentário ao Livro I, com as poucas notícias que temos sobre Euclides. c. 800 BagdáNa Casa da Sabedoria, os Elementos são traduzidos para o árabe. c. 1120 BathAdelardo de Bath traduz o texto árabe para o latim, e o livro volta à Europa. 1482 VenezaErhard Ratdolt imprime a primeira edição, com as figuras nas margens. Seguiram-se mais de mil edições. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. A viagem dos Elementos, de Atenas e Alexandria até a primeira edição impressa, em Veneza. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

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As cartas de Monsieur Le Blanc: aritmética dos restos

Quando Sophie Germain escreveu a Gauss em 1804, os dois falavam uma língua que tinha acabado de nascer. Três anos antes, nas Investigações aritméticas, Gauss tinha introduzido um sinal novo, $\equiv$, e uma maneira nova de pensar os números inteiros: não pelo que eles são, mas pelo resto que deixam numa divisão. Tudo o que Sophie fez depois sobre Fermat foi escrito nessa língua. Vale a pena aprendê-la. A aritmética do relógio Se agora são 9 horas, que horas serão daqui a 5 horas? Ninguém responde 14 num relógio de ponteiros: responde 2. O relógio só guarda o resto da divisão por 12. Gauss escreveu isso assim:

October 14, 2026 Iniciar leitura

O cálculo das variações: a carta de um jovem de 19 anos

O cálculo de Newton e Leibniz sabe achar o ponto mais alto de uma curva: é onde a derivada se anula. Mas há perguntas de outro tipo. Qual é o caminho mais curto entre dois pontos? Qual é a forma de um escorregador em que uma bolinha desce mais depressa? Qual é a curva de um fio pendurado? Nessas perguntas, a resposta não é um número, é uma curva inteira, escolhida entre infinitas curvas possíveis.

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Os Elementos: definições, postulados e noções comuns

Ponto é aquilo que não tem partes. Linha é comprimento sem largura. — Euclides, Elementos, Livro I, Definições 1 e 2 Imagine que você quer convencer alguém, sem nenhuma possibilidade de dúvida, de que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180°. Medir não basta: o transferidor erra, e você só pode medir alguns triângulos. Você precisa de um argumento. Mas todo argumento parte de alguma coisa. De onde partir? Se cada afirmação precisa ser justificada por outra, e essa por outra, a cadeia nunca termina.

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A Mecânica analítica: um livro sem figuras

Abra os Principia de Newton, de 1687, e você verá figuras em quase toda página: triângulos, elipses, setas, tangentes. Abra a Mecânica analítica de Lagrange, publicada cem anos depois, em 1788, e não verá nenhuma. O próprio autor avisa isso no prefácio, com orgulho, e completa: Os que amam a análise verão com prazer a mecânica tornar-se um novo ramo dela, e me serão gratos por ter assim estendido o seu domínio. — Joseph-Louis Lagrange, prefácio da Mecânica analítica (1788)

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A primeira proposição: o triângulo equilátero

Sobre uma reta limitada dada, construir um triângulo equilátero. — Euclides, Elementos, Proposição I.1 Depois das definições, dos postulados e das noções comuns, os Elementos começam com um problema pequeno e bonito. Você tem um segmento $AB$. Quer construir, só com régua e compasso, um triângulo cujos três lados sejam iguais a $AB$. É a primeira das 465 proposições do livro, e mostra em poucas linhas como todas as outras vão funcionar.

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O teorema de Sophie Germain e o último teorema de Fermat

Por volta de 1637, Pierre de Fermat anotou na margem de um livro que a equação $$x^n+y^n=z^n$$não tem soluções em números inteiros positivos quando $n$ é maior que 2, e que tinha uma demonstração maravilhosa que não cabia na margem. É o último teorema de Fermat. Ninguém nunca encontrou a demonstração dele, e o problema só foi resolvido por Andrew Wiles em 1994. Até 1800, a situação era modesta. Fermat tinha provado o caso $n=4$, Euler o caso $n=3$. Bastava estudar os expoentes $n=p$ primos, mas cada primo exigia um truque próprio, e ninguém conseguia passar do 3. Sophie Germain foi a primeira pessoa a provar algo para infinitos expoentes de uma só vez.

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O teorema de Pitágoras à moda de Euclides

Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que subtende o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto. — Euclides, Elementos, Proposição I.47 Muito antes dos gregos, os agrimensores do Egito, que remarcavam os campos depois de cada cheia do Nilo, eram chamados de esticadores de corda. Conta-se que usavam uma corda com 12 nós igualmente espaçados: esticada num triângulo de lados 3, 4 e 5, ela dava um ângulo reto. Os babilônios conheciam muito mais: uma tabuleta de barro de cerca de 1800 a.C., a Plimpton 322, traz uma lista de triângulos retângulos com lados inteiros, alguns enormes, como 3 367, 3 456 e 4 825.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os pontos de Lagrange: onde a gravidade se equilibra

Em 25 de dezembro de 2021, um foguete partiu da Guiana Francesa levando o telescópio espacial James Webb. Ele não foi colocado em órbita da Terra, como o Hubble. Viajou um mês até um ponto vazio do espaço, a 1,5 milhão de quilômetros daqui, sempre do lado oposto ao Sol, e ficou lá. O endereço desse ponto sai de um trabalho premiado de Lagrange, de 1772. Chama-se L2. Três corpos Newton resolveu por completo o movimento de dois corpos que se atraem, como o Sol e um planeta: cada um descreve uma elipse. Com três corpos, por exemplo o Sol, a Terra e a Lua, tudo se complica. Cada corpo puxa os outros dois, e o movimento pode ficar caótico. Os matemáticos do século XVIII sabiam que não ia ser fácil, e a Academia de Paris pôs o problema várias vezes como tema de prêmio.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os primos de Sophie Germain e a criptografia

Um número primo $p$ é um primo de Sophie Germain quando $2p+1$ também é primo. O $5$ é, porque $11$ é primo. O $7$ não é, porque $15=3\cdot5$. A lista começa assim: $$2,\ 3,\ 5,\ 11,\ 23,\ 29,\ 41,\ 53,\ 83,\ 89,\ 113,\ 131,\ldots$$O primo $2p+1$ que acompanha cada um é chamado de primo seguro: $5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, \ldots$ Sophie Germain precisou deles para o seu teorema sobre Fermat. Dois séculos depois, eles protegem as conexões da internet.

October 14, 2026 Iniciar leitura