素数看起来是随机出现的：2、3、5、7、11、13，然后空了一段到 17、19、23，又空一段到 29。但从远处看，它们遵循一个规律。把不超过 $x$ 的素数个数记作 $\pi(x)$。高斯还是少年时，查阅数表就注意到，在 $x$ 附近，素数的密度约为 $\frac{1}{\ln x}$，于是提出了估计

$$\pi(x) \approx \operatorname{li}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t},$$

即对数积分。当时没有人知道怎样证明这个估计是好的，也没有人能解释其中的偏差。

一篇八页的论文

1859 年 11 月，黎曼当选柏林科学院院士时，提交了他唯一一篇数论论文：《论小于给定数值的素数个数》，只有八页。在这篇论文中，黎曼用 zeta 函数和欧拉乘积写出了素数计数的精确公式。

这个想法最简洁的形式用的是一种稍加修改的计数，黎曼记作 $f(x)$：每个素数计 1，每个素数的平方计 $\frac{1}{2}$，每个立方计 $\frac{1}{3}$，依此类推。黎曼的公式是

$$f(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{li}(x^{\rho}) - \ln 2 + \int_x^{\infty}\frac{dt}{t(t^2 - 1)\ln t},$$

其中求和遍及 zeta 函数的非平凡零点 $\rho$。第一项是高斯的估计，最后两项很小。把光滑曲线 $\operatorname{li}(x)$ 与素数那不规则的阶梯区分开来的，正是对零点的求和。

零点的波

每个零点 $\rho = \frac{1}{2} + i\gamma$（假定黎曼猜想成立）贡献一个大小约为 $\frac{\sqrt{x}}{\ln x}$ 的振荡，以频率 $\gamma$ 起伏。零点就像一件乐器的音符：加进越来越多的零点，光滑曲线就不断弯折，直到一级一级地重现素数的阶梯。所以人们说，zeta 函数的零点蕴藏着“素数的音乐”。

把加权计数还原，黎曼得到了真正计数的一个近似，即函数

$$R(x) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}\operatorname{li}\!\left(x^{1/n}\right) = \operatorname{li}(x) - \frac{1}{2}\operatorname{li}\!\left(\sqrt{x}\right) - \frac{1}{3}\operatorname{li}\!\left(\sqrt[3]{x}\right) - \cdots,$$

其中 $\mu$ 是默比乌斯函数。它比 $\operatorname{li}(x)$ 好得多：

$x$ $\pi(x)$ $\frac{x}{\ln x}$ $\operatorname{li}(x)$ $R(x)$
100 25 21.7 30.1 25.7
1 000 168 144.8 177.6 168.4
10 000 1 229 1 085.7 1 246.1 1 226.9
1 000 000 78 498 72 382 78 628 78 527

素数定理

黎曼的论文并没有证明它提出的所有论断，有些步骤只是概略。但它指明了道路。1896 年，雅克·阿达马和夏尔·德拉瓦莱·普桑各自独立地沿着黎曼的思路，证明了素数定理：$\pi(x)$ 与 $\frac{x}{\ln x}$ 以相同的比例增长，也就是说，二者之比趋于 1。关键一步是证明 zeta 函数在直线 $\sigma = 1$ 上没有零点。

练习：π(30)

数一数不超过 30 的素数，并与 $\frac{30}{\ln 30}$ 比较。

不超过 30 的素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共十个。而 $\frac{30}{\ln 30} = \frac{30}{3.401} \approx 8.8$。简单估计偏小，和表中一样；$\operatorname{li}(30) \approx 13.0$ 则偏大。

练习：加权计数

计算黎曼的计数 $f(10)$，其中每个素数计 1，每个素数的平方计 $\frac{1}{2}$，每个立方计 $\frac{1}{3}$。

不超过 10 的素数：2、3、5、7，得 4。不超过 10 的素数平方：4 和 9，得 $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$。立方：8，得 $\frac{1}{3}$。没有四次方：$2^4 = 16$ 已经超过 10。所以 $f(10) = 4 + 1 + \frac{1}{3} = 5.33$。它与普通计数的关系是 $f(x) = \pi(x) + \frac{1}{2}\pi(\sqrt{x}) + \frac{1}{3}\pi(\sqrt[3]{x}) + \cdots = 4 + \frac{1}{2}\cdot 2 + \frac{1}{3}\cdot 1$。

来源： Bernhard Riemann，“Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”，Monatsberichte der Berliner Akademie（1859 年 11 月） · Harold M. Edwards，Riemann’s Zeta Function（1974） · Jacques Hadamard，“Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques”，Bulletin de la Société Mathématique de France 24（1896） · Marcus du Sautoy，The Music of the Primes（2003）。

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