Euler's Eyes
2026-10-31
黎曼的遗产
黎曼是一个有着辉煌直觉的人。
— 费利克斯·克莱因，《十九世纪数学发展讲义》（1926）
戴德金和韦伯在 1876 年编辑出版的黎曼全集，连同遗著和笔记，只有一卷五百多页。很少有数学家留下的文字如此之少，影响却如此之多。
以他命名的东西
- 黎曼积分和黎曼和，微积分课程中积分的定义。
- 黎曼曲面和黎曼球面，后者是加上一个无穷远点、像球一样封闭起来的复平面。
- 柯西–黎曼方程和黎曼映射定理。
- 黎曼几何、黎曼流形、度量和黎曼曲率张量，广义相对论的语言。
- 黎曼–罗赫定理，它计算在一个黎曼曲面上可以定义多少函数，由他的学生古斯塔夫·罗赫在 1865 年完成。
- 黎曼 zeta 函数和黎曼猜想。
- 关于条件收敛级数的黎曼重排定理。
一种新风格
比起具体的成果，黎曼更深刻地改变了数学的风格。在他之前，函数首先是一个公式，数学家的工作就是操纵公式。黎曼用概念来思考：一个复变函数由它的性质而不是表达式来定义；一个曲面不必画在任何地方就能定义；一个空间由它的度量规则来定义。从希尔伯特到外尔，20 世纪的数学家都把他看作后来占据主导地位的“概念式”数学的奠基人。
这种风格也有代价：黎曼常常凭直觉陈述结果，而没有完整的证明。魏尔斯特拉斯对狄利克雷原理的批评显示了其中的风险，好几代数学家致力于为黎曼的论断建立严格的基础。这些论断几乎全都是对的。
在物理学中
黎曼几何作为纯数学存在了半个多世纪，直到 1912 年至 1915 年间，爱因斯坦在数学家朋友马塞尔·格罗斯曼的帮助下，认识到它正是广义相对论所需的工具。今天，同样的语言描述着黑洞、引力波和宇宙膨胀。zeta 函数则出现在统计物理、量子场论和一些奇妙的巧合中：zeta 函数零点之间的间距，与重原子核能级的统计规律相同，这是休·蒙哥马利和弗里曼·戴森在 1972 年发现的。
地方
月球上有一座黎曼环形山，还有一颗小行星 4167 Riemann。在他的故乡布雷塞伦茨，一块嵌着铭牌的石头纪念着这位数学家；在哥廷根，一块牌子标出了他住过的一座房子。
练习：黎曼球面
黎曼球面通过从北极出发的投影，把复平面与一个球面对应起来。$|z|$ 非常大的点 $z$ 会到哪里去？
球极投影用经过北极的直线，把球面上除北极以外的每一点与平面上的一点联系起来。离原点很远的平面上的点，对应于球面上非常接近北极的点。北极本身则对应唯一的“无穷远点” $\infty$。这样，像 $\frac{1}{z}$ 这样的函数就在整个球面上有了定义：$\frac{1}{0} = \infty$，$\frac{1}{\infty} = 0$。
练习：丰硕的一生
黎曼在 1851 年发表了第一部重要著作，即博士论文，1866 年去世。如果全集约有 550 页，他在职业生涯中平均每年写多少页？
从 1851 年到 1866 年是 15 年。$\frac{550}{15} \approx 37$ 页每年，每周不到一页。很少有例子能如此清楚地说明：在数学中，重要的是思想的深度，而不是篇幅。
来源： Richard Dedekind 与 Heinrich Weber（编），Bernhard Riemann’s Gesammelte Mathematische Werke（1876） · Felix Klein，Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert（1926–1927） · Detlef Laugwitz，Bernhard Riemann 1826–1866（1999） · Hugh L. Montgomery，“The pair correlation of zeros of the zeta function”，Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 24（1973）。