Euler's Eyes
2026-10-31
ベルンハルト・リーマンの遺産
リーマンは輝かしい直観の人である。
— フェリックス・クライン『19 世紀の数学の発展についての講義』（1926）
デデキントとヴェーバーが 1876 年に編集したリーマンの全集は、遺稿やメモを含めても五百ページあまりの一巻に収まる。これほど少ない文章から、これほど多くの帰結を残した数学者はほとんどいない。
彼の名を冠したもの
- リーマン積分とリーマン和。微積分の授業で教える積分の定義である。
- リーマン面とリーマン球面。後者は、無限遠点を加えて球のように閉じた複素平面である。
- コーシー＝リーマンの方程式とリーマンの写像定理。
- リーマン幾何学、リーマン多様体、計量、リーマン曲率テンソル。一般相対性理論の言葉である。
- リーマン＝ロッホの定理。リーマン面の上に定義できる関数を数える定理で、弟子のグスタフ・ロッホが 1865 年に完成させた。
- リーマンのゼータ関数とリーマン予想。
- 条件収束する級数についてのリーマンの並べかえ定理。
新しい流儀
個々の結果以上に、リーマンは数学の流儀を変えた。彼以前、関数とはなによりも式であり、数学者は式を操作して仕事をしていた。リーマンは概念で考えた。式ではなく性質によって定義される複素関数、どこにも描かれずに定義される面、測り方の規則によって定義される空間である。ヒルベルトからワイルまで、二十世紀の数学者たちは、のちに主流となる「概念的」な数学の創始者を彼のうちに見た。
この流儀には代償もあった。リーマンはしばしば直観を頼りに、完全な証明なしに結果を述べた。ディリクレの原理に対するワイエルシュトラスの批判はその危うさを示し、何世代もの数学者が、リーマンの主張に厳密な基礎を与えるために働いた。その主張はほとんどすべて正しかったのである。
物理学のなかで
リーマンの幾何学は半世紀以上のあいだ純粋数学にとどまっていたが、1912 年から 1915 年にかけて、アインシュタインが数学者の友人マルセル・グロスマンの助けを借りて、それが一般相対性理論のための道具であることに気づいた。いまでは同じ言葉が、ブラックホール、重力波、宇宙の膨張を記述している。一方ゼータ関数は、統計物理学や場の量子論、そして奇妙な一致のなかに現れる。ゼータの零点の間隔は、重い原子核のエネルギー準位と同じ統計に従うのである。これは 1972 年にヒュー・モンゴメリーとフリーマン・ダイソンが気づいたことである。
ゆかりの場所
月にはリーマン・クレーターがあり、小惑星 4167 Riemann もある。生まれ故郷のブレゼレンツには銘板をはめた石が数学者をしのび、ゲッティンゲンでは銘板が彼の住んだ家のひとつを示している。
練習：リーマン球面
リーマン球面は、北極からの投影によって複素平面を球面と同一視する。$|z|$ がとても大きい点 $z$ はどこへ行くか。
立体射影は、北極を通る直線によって、北極以外の球面の各点を平面の一点と結びつける。原点から遠く離れた平面の点は、北極にごく近い球面の点に対応する。北極そのものは、ただ一つの「無限遠点」$\infty$ に対応する。こうして $\frac{1}{z}$ のような関数が球面全体で定義される。$\frac{1}{0} = \infty$、$\frac{1}{\infty} = 0$ である。
練習：実りの多い生涯
リーマンは最初の大きな仕事である博士論文を 1851 年に発表し、1866 年に亡くなった。全集がおよそ 550 ページだとすると、研究生活の一年あたり平均何ページ書いたことになるか。
1851 年から 1866 年までは 15 年である。$\frac{550}{15} \approx 37$ ページ毎年で、一週間に一ページにも満たない。数学で大切なのは量ではなく考えの深さであることを、これほどよく示す例はめったにない。
出典： Richard Dedekind、Heinrich Weber（編）、Bernhard Riemann’s Gesammelte Mathematische Werke（1876） · Felix Klein、Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert（1926–1927） · Detlef Laugwitz、Bernhard Riemann 1826–1866（1999） · Hugh L. Montgomery、「The pair correlation of zeros of the zeta function」、Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 24（1973）。