牛顿和莱布尼茨在 17 世纪发明了积分学，但很长时间里，没有人在意精确地定义积分到底是什么。对于普通的函数，积分就是导数的逆运算，或者曲线下的面积，这就够了。

奇怪的函数

19 世纪初，情况变了。傅里叶证明，非常不规则的函数，即带有跳跃和尖角的函数，也可以写成正弦和余弦之和，而这些和的系数由积分给出。可是，对一个满是跳跃的函数求积分有什么意义呢？柯西为连续函数给出了第一个定义。黎曼的老师狄利克雷在 1829 年找到了一个根本无法积分的函数：在有理数处取 1、在无理数处取 0 的函数。

黎曼在 1854 年关于三角级数的授课资格论文中处理了这个问题。要知道哪些函数能写成傅里叶级数，他首先得确切知道哪些函数能够积分。

定义

黎曼的想法很简单。要在区间 $[a, b]$ 上对 $f$ 积分：

  1. 把区间切成小段 $[x_0, x_1], [x_1, x_2], \ldots, [x_{n-1}, x_n]$，其中 $x_0 = a$，$x_n = b$；
  2. 在每一段中任取一点 $\xi_i$；
  3. 作出以 $x_i - x_{i-1}$ 为底、$f(\xi_i)$ 为高的矩形面积之和：
$$S = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\,(x_i - x_{i-1}).$$

如果当所有小段都变得非常窄时，这些和趋近同一个数，不论小段和点是怎样选取的，这个数就是积分：

$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim S.$$

要求点的选取无关紧要，这正是定义的核心。在下图中，改变每一段里所取的点和段数：

哪些函数可积

黎曼还给出了一个判别法。在每一段中，函数在一个最小值和一个最大值之间变化，两者之差就是函数在这一段上的振幅。如果各段的振幅乘以宽度之和可以要多小就有多小，函数就是可积的。所有连续函数都能通过这个检验，许多有跳跃的函数也能：只要跳跃不“太多”就行。

狄利克雷函数通不过：在任何一段里，不论多小，都既有有理数又有无理数，振幅始终是 1。和是 1 还是 0，取决于所选的点，不存在唯一的极限。

练习：x² 的左端点和

在 $[0, 1]$ 上把区间分成 $n$ 个相等的小段，取每段的左端点，计算 $f(x) = x^2$ 的黎曼和，并证明它趋于 $\frac{1}{3}$。

每段宽 $\frac{1}{n}$，第 $i$ 段的左端点是 $\frac{i-1}{n}$。和为

$$S_n = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{i-1}{n}\right)^2\frac{1}{n} = \frac{1}{n^3}\sum_{k=0}^{n-1}k^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}.$$

$n$ 增大时，它趋近 $\frac{2n^3}{6n^3} = \frac{1}{3}$。$n = 10$ 时，$S_{10} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 19}{6000} = 0.285$。

练习：阶梯函数

设 $x < \frac{1}{2}$ 时 $f(x) = 0$，$x \ge \frac{1}{2}$ 时 $f(x) = 1$。证明 $f$ 在 $[0, 1]$ 上可积，并求积分。

函数只在包含 $\frac{1}{2}$ 的那一段上有振动，振幅为 1。分成 $n$ 个相等小段时，振幅乘宽度之和至多为 $2 \cdot \frac{1}{n}$（当 $\frac{1}{2}$ 恰好落在两段的分界上时），它趋于零。所以 $f$ 可积。所有的和都趋近以 $\frac{1}{2}$ 为底、1 为高的矩形面积：积分等于 $\frac{1}{2}$。

来源： Bernhard Riemann，“Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe”（1854 年授课资格论文，1867 年出版） · Thomas Hawkins，Lebesgue’s Theory of Integration: Its Origins and Development（1970） · Detlef Laugwitz，Bernhard Riemann 1826–1866（1999）。

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