Análise

A vida de Niels Henrik Abel

Linha do tempo 1802Nasce em 5 de agosto, perto de Stavanger, na costa oeste da Noruega. 1804A família se muda para Gjerstad, onde o pai é pastor. 1815Entra na Escola da Catedral de Christiania, a atual Oslo. 1818Bernt Holmboe se torna o seu professor de matemática. 1820Morre o pai. Abel passa a sustentar parte da família. 1821Entra na universidade. Pensa ter resolvido a equação do quinto grau e descobre o erro. 1824Publica, à própria custa, a prova de que não há fórmula para o quinto grau. 1825Viaja a Berlim, onde conhece August Leopold Crelle. 1826Em Paris, entrega à Academia a sua grande memória sobre integrais. Cauchy a perde. 1827Volta à Noruega, sem emprego e endividado. Publica as funções elípticas. 1829Morre de tuberculose em Froland, em 6 de abril, aos 26 anos. 1830Recebe, depois de morto, o Grande Prêmio da Academia de Paris, com Jacobi. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1802 perto de StavangerNasce na costa oeste da Noruega, segundo de sete filhos de um pastor. 1804–1815 GjerstadCresce na paróquia do pai, no sul do país. 1815–1825 ChristianiaNa Escola da Catedral, o professor Holmboe descobre o seu talento. Em 1824 publica o folheto de seis páginas sobre o quinto grau. 1825–1826 BerlimConhece August Leopold Crelle, que publica sete artigos seus no primeiro volume do seu jornal. 1826 ParisEntrega à Academia a grande memória sobre integrais. Ninguém lhe dá atenção, e Cauchy perde o manuscrito. 1827–1828 ChristianiaVolta sem emprego e endividado. Publica as funções elípticas e disputa a corrida com Jacobi. 1828–1829 FrolandViaja de trenó no Natal para ver a noiva, adoece e morre de tuberculose em 6 de abril. Dois dias depois, chega a nomeação de Berlim. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. A grande viagem de Abel, da Noruega a Berlim e Paris, e a volta para morrer em Froland. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 15, 2026 Iniciar leitura

A vida de John Nash

Linha do tempo 1928Nasce em 13 de junho, em Bluefield, na Virgínia Ocidental, nos Estados Unidos. 1945Entra no Carnegie Institute of Technology, em Pittsburgh, para estudar engenharia química. Muda para a matemática. 1948Chega a Princeton. Inventa o jogo que os colegas chamam de “Nash”, hoje conhecido como Hex. 1950Defende a tese “Jogos não cooperativos”, com o equilíbrio de Nash. Publica “O problema da barganha”. 1951Torna-se professor no MIT. 1956Publica o teorema da imersão isométrica. 1957Casa-se com Alicia Lardé, estudante de física do MIT. 1958Publica o resultado sobre a regularidade das equações parabólicas. 1959Primeira internação psiquiátrica. Começam três décadas de doença. 1994Recebe o Nobel de Economia, com John Harsanyi e Reinhard Selten. 2001Casa-se de novo com Alicia. Estreia o filme Uma Mente Brilhante. 2015Recebe o Prêmio Abel, com Louis Nirenberg. Morre num acidente de carro em 23 de maio, com Alicia. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1928–1945 BluefieldCresce numa cidade de ferrovias e carvão. Lê Men of Mathematics e prova sozinho o pequeno teorema de Fermat. 1945–1948 PittsburghNo Carnegie Institute of Technology, troca a engenharia química pela matemática e tem a ideia da barganha. 1948–1951 PrincetonInventa o Hex e defende a tese de 28 páginas com o equilíbrio de Nash. 1951–1959 MITProfessor no MIT. Prova o teorema da imersão e o resultado sobre equações parabólicas. Em 1959 começa a doença. 1970–2015 PrincetonVaga pelos corredores como “o fantasma de Fine Hall” e, no fim dos anos 1980, se recupera. 1994 EstocolmoRecebe o Nobel de Economia, com John Harsanyi e Reinhard Selten. 2015 OsloRecebe o Prêmio Abel, com Louis Nirenberg. Na volta, em 23 de maio, morre com Alicia num acidente de táxi em Nova Jersey. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Os lugares de John Nash, de Bluefield a Princeton, e as viagens para receber o Nobel e o Abel. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

A equação do quinto grau: a fórmula que não existe

Os geômetras se ocuparam muito da solução geral das equações algébricas, e vários deles procuraram provar a sua impossibilidade. Mas, se não me engano, ninguém conseguiu até hoje. — Niels Henrik Abel, Memória sobre as equações algébricas (1824) Toda pessoa que passou pela escola conhece uma fórmula para resolver equações: a do segundo grau. A equação $ax^2+bx+c=0$ tem as raízes $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$A receita usa só as quatro operações e uma raiz quadrada. Os babilônios já sabiam resolver problemas desse tipo há quase quatro mil anos, e Euclides os resolveu com quadrados e retângulos. A pergunta natural é: existem receitas assim para as equações de grau maior?

October 15, 2026 Iniciar leitura

O jogo de Hex: por que o primeiro jogador ganha

Em 1948, na sala comum do prédio de matemática de Princeton, onde professores e alunos jogavam xadrez e Go durante a tarde, John Nash apresentou um jogo novo. O tabuleiro é um losango coberto de casas hexagonais, como um favo de mel. Dois jogadores, vermelho e azul, colocam peças alternadamente, uma por vez, em casas vazias. As peças nunca se movem. O vermelho quer formar uma corrente de peças vermelhas ligando a borda de cima à de baixo; o azul, uma corrente azul ligando a esquerda à direita.

October 14, 2026 Iniciar leitura

A série binomial e as séries do diabo

As séries divergentes são uma invenção do diabo, e é uma vergonha basear nelas qualquer demonstração. — Niels Henrik Abel, carta a Holmboe (janeiro de 1826) Em 1665, o jovem Newton descobriu que a fórmula do binômio valia também para expoentes que não são inteiros: $$(1+x)^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{6}x^3+\cdots$$Para $m$ inteiro positivo, a soma para depois de $m+1$ termos. Para $m=\frac12$ ou $m=-1$, ela nunca para: é uma série, uma soma com infinitos termos. Newton, Euler e todos os matemáticos do século XVIII usaram essa série com enorme sucesso. Quase ninguém perguntou quando ela funciona.

October 15, 2026 Iniciar leitura

O equilíbrio de Nash: ninguém melhora sozinho

Um ponto de equilíbrio é uma n-upla tal que a estratégia mista de cada jogador maximiza o seu ganho se as estratégias dos outros forem mantidas fixas. — John Nash, Proceedings of the National Academy of Sciences (1950) Em 1944, John von Neumann e o economista Oskar Morgenstern publicaram Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico, um livro enorme que transformava em matemática as decisões estratégicas: jogos de cartas, guerras, mercados. O grande resultado de von Neumann valia para jogos de soma zero entre dois jogadores, em que o que um ganha o outro perde, como o xadrez ou o pôquer. Mas a maior parte da vida não é assim: num acordo comercial, numa negociação ou no trânsito, os dois lados podem ganhar juntos, ou perder juntos.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Inverter a integral: as funções elípticas

Comece por uma função conhecida, vista de um jeito estranho. A integral $$\arcsin x=\int_0^x\frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}$$dá o comprimento de um arco de círculo de raio 1, medido a partir do ponto mais baixo, em função da altura $x$. É uma função complicada. Mas a sua inversa, que dá a altura em função do arco, é o seno, a função mais simples da trigonometria. E o seno tem uma propriedade que a integral esconde: é periódico. Como um quarto de volta mede

October 15, 2026 Iniciar leitura

Estratégias mistas: o pênalti e o par ou ímpar

Todo jogo finito tem um ponto de equilíbrio. — John Nash, Non-Cooperative Games, tese de doutorado (1950) Alguns jogos não têm equilíbrio nenhum se cada jogador escolher uma jogada fixa. O mais simples é o par ou ímpar. Ana escolhe “par”, Bruno escolhe “ímpar”, e cada um mostra um ou dois dedos. Se a soma for par, Ana ganha um ponto; se for ímpar, ganha Bruno. Reduzindo cada escolha a “um” ou “dois” dedos, os ganhos são:

October 14, 2026 Iniciar leitura

Dividir a lemniscata com régua e compasso

Em 1694, Jakob Bernoulli estudou uma curva em forma de oito deitado, que chamou de lemniscus, uma fita de laço. Com os focos nos pontos $(\pm\frac1{\sqrt2},0)$, ela é o conjunto dos pontos cujo produto das distâncias aos dois focos vale $\frac12$. A equação é $$(x^2+y^2)^2=x^2-y^2,$$ou, em coordenadas polares, $r^2=\cos2\theta$. Abel, um século e meio depois, provou sobre ela um teorema que parece saído do livro de Euclides: para que números $n$ dá para dividir a lemniscata em $n$ arcos de mesmo comprimento usando só régua e compasso?

October 15, 2026 Iniciar leitura

A solução de barganha de Nash

Apresenta-se um novo tratamento de um problema econômico clássico, que aparece em muitas formas, como a barganha e o monopólio bilateral. — John Nash, The Bargaining Problem (1950) Em 1948, ainda aluno de graduação no Carnegie Institute of Technology, Nash fez um curso de economia internacional, o único curso de economia da sua vida. Saiu dele com uma pergunta: quando duas pessoas negociam, como dividem os ganhos de um acordo? Os economistas achavam que a resposta dependia da psicologia, da habilidade e do blefe de cada um, e que não havia nada a dizer em geral. Nash mostrou que, se o acordo tiver de satisfazer algumas exigências razoáveis, só existe uma resposta possível. O trabalho, escrito antes de ele chegar a Princeton, foi publicado em 1950 na revista Econometrica.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Grupos abelianos: quando a ordem não importa

Calçar a meia e depois o sapato não dá o mesmo resultado que calçar o sapato e depois a meia. Somar 3 e depois 5 dá o mesmo que somar 5 e depois 3. Quando a ordem de duas operações não muda o resultado, dizemos que elas comutam. A palavra que os matemáticos usam para as estruturas em que tudo comuta é uma homenagem a Abel: abeliano. A última memória Depois de provar que a equação geral do quinto grau não tem fórmula, Abel quis saber quais equações têm. Em 1829, num dos últimos artigos que publicou no Jornal de Crelle, estudou uma família especial: as equações em que todas as raízes podem ser obtidas de uma delas, $x$, por funções racionais $\theta_1(x), \theta_2(x),\dots$ que comutam entre si:

October 15, 2026 Iniciar leitura

Amassar sem esticar: o teorema da imersão

Pegue uma folha de papel. Você pode enrolá-la num cilindro sem rasgar nem esticar: as distâncias medidas sobre a folha, com uma régua flexível, continuam as mesmas. Mas não consegue embrulhar uma bola com ela sem fazer pregas. A folha e a esfera têm geometrias internas diferentes, e Gauss provou em 1827 que essa diferença, a curvatura, não muda quando a superfície é dobrada sem esticar. No século XIX, Bernhard Riemann teve uma ideia ainda mais ousada: descrever uma superfície, ou um espaço de qualquer dimensão, só pelas suas medidas internas, sem desenhá-la em lugar nenhum. Basta uma regra, a métrica, que diz como medir o comprimento de qualquer curva. É assim que a relatividade geral descreve o espaço-tempo: por dentro, sem um espaço maior em volta.

October 14, 2026 Iniciar leitura