Euler's Eyes
2026-10-30
星雲説
1796 年の『宇宙体系解説』は、数学の素養のない読者のための本だった。ラプラスはそこで、天体力学が明らかにしたことを散文ですべて語った。そして巻末の注で、彼自身が「観測や計算の結果でないものすべてに向けるべき疑いをもって」と断りながら、太陽系の起源についての説明を試みた。
できすぎた偶然
ラプラスは誰もが知っている事実から出発した。当時知られていた惑星はみな同じ向きに太陽のまわりを回り、その軌道はほぼ同じ平面にあって、ほぼ円である。自転の向きも同じで、惑星のまわりを回る衛星も同じ向きである。惑星、衛星、自転を合わせて、ラプラスは同じ向きの運動を 43 個数えた。
それぞれの運動が偶然に、確率 $\frac{1}{2}$ でどちらかの向きをとるとしたら、すべてがそろう確率はいくらか。最初の運動が向きを決め、残りの 42 個がそれに従わなければならない。
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{42} = \frac{1}{4\,398\,046\,511\,104} \approx \frac{1}{4.4 \times 10^{12}}.$$ラプラスは、この配置に共通の原因があることに「四兆対一以上」で賭けられると書いた。空に確率の推論を当てはめる、いかにも彼らしい考え方である。偶然が奇妙だと言うかわりに、彼はそれを測ったのだ。
回る雲
彼が提案した原因はこうである。はじめ太陽は巨大で熱い大気、つまり星雲に包まれていた。星雲はゆっくり回転し、現在の軌道より外まで広がっていた。冷えるにつれて雲は縮み、縮むにつれてますます速く回るようになり、ついに縁で遠心力が重力とつりあうと、物質の環が分かれた。それぞれの環が集まってひとつの惑星となり、もとの雲と同じ向きに回った。衛星も同じように、惑星の大気から生まれたとされる。
なぜ縮む雲は速く回るのか。それは角運動量の保存で、フィギュアスケートの選手が腕を縮めると回転が速くなるのと同じ理屈である。回転軸から距離 $r$ のところを角速度 $\omega$ で回る質量 $m$ の角運動量は
$$L = m\,r^2\,\omega$$である。外からトルクがはたらかなければ $L$ は変わらない。雲の半径が半分になると $r^2$ は四分の一になり、それを補うために $\omega$ は四倍になる。
$$m\,r^2\,\omega = m\left(\frac{r}{2}\right)^2\omega' \quad\Rightarrow\quad \omega' = 4\omega.$$練習：縮む星
太陽の半径は約 $700\,000$ km で、25 日に一回自転する。質量も角運動量も失わずに、中性子星のように半径 10 km まで縮んだとしたら、新しい自転周期はいくらか。（質量分布の形は変わらず、$L \propto r^2\omega$ とする。）
半径は $\frac{700\,000}{10} = 70\,000$ 分の一になるから、$\omega$ は $70\,000^2 = 4.9 \times 10^9$ 倍になる。周期は同じ割合で短くなる。$25 \text{ 日} = 2\,160\,000$ s だから、$\frac{2\,160\,000}{4.9 \times 10^9} \approx 4.4 \times 10^{-4}$ s。千分の一秒の半分にも満たない。知られているもっとも速いパルサーの桁である。
練習：もっと少ない運動
1796 年に知られていた衛星は今日より少なかった。ラプラスが 1781 年以前に知られていた 6 つの惑星（水星から土星まで）の公転だけを数えたとしたら、すべてが偶然同じ向きに回る確率はいくらか。
最初の惑星が向きを決め、残り 5 つが従わなければならない。$\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$、約 3% である。小さいが、ありえないほどではない。何十もの独立な運動を合わせてはじめて、偶然は信じがたいものになる。運動がひとつ増えるたびに、確率は半分になるのである。
出典： Pierre-Simon Laplace、Exposition du système du monde（1796、1835 年版の注 VII） · Stephen G. Brush、Nebulous Earth: The Origin of the Solar System and the Core of the Earth from Laplace to Jeffreys（1996） · Immanuel Kant、Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels（1755） · ALMA Partnership、「The 2014 ALMA Long Baseline Campaign: First Results from High Angular Resolution Observations toward the HL Tau Region」、The Astrophysical Journal Letters 808（2015）。