Euler's Eyes
2026-10-29
《方法》与重写本
阿基米德的书里有完美的证明，却不说他是怎样得到这些结果的。许多世纪以来，数学家们一直怀疑他有一种秘密的方法。他们猜对了，而这种方法是在最意想不到的地方找到的。
致埃拉托色尼的信
有些东西我最初是用力学的方法弄清楚的，之后还必须用几何来证明，因为用这种方法所做的研究并不构成证明。但是，先用这种方法对问题有了一些了解，再去找证明，当然比毫无了解时容易得多。
— 阿基米德，《方法》，致埃拉托色尼的信
我们称之为《关于力学定理的方法》的这篇著作，是写给地理学家昔兰尼的埃拉托色尼的一封信。在信中，阿基米德透露了他的做法：把图形想象成由无穷多个极薄的薄片组成，并在杠杆上称量它们，把它们与一个已知图形的薄片逐片比较。
称量球
最漂亮的例子是球。把半径为 $r$ 的球，以及底面半径为 $2r$、高为 $2r$ 的圆锥和圆柱，沿杠杆的臂放置，使它们的轴与臂重合。在距支点 $x$ 处，用一个垂直于臂的平面把它们都切开。用一点几何知识可知，球的截面面积为 $\pi\left(2rx - x^2\right)$，圆锥的为 $\pi x^2$，圆柱的为 $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$。于是
$$\text{球的截面} + \text{圆锥的截面} = \pi \cdot 2rx.$$阿基米德把球和圆锥的截面移到杠杆另一端、距支点 $2r$ 处，而把圆柱的截面留在原处，距离为 $x$。两边力矩相等：
$$2r \cdot \pi \cdot 2rx = x \cdot 4\pi r^2.$$由于每一片都是如此，整个球和圆锥挂在距离 $2r$ 处，就与重心在距离 $r$ 处的整个圆柱平衡。根据杠杆定律：
$$2r\,(V_{\text{球}} + V_{\text{圆锥}}) = r\,V_{\text{圆柱}} \quad\Longrightarrow\quad V_{\text{球}} = \frac{1}{2}\cdot 8\pi r^3 - \frac{8}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3.$$这正是他后来在球与圆柱中严格证明的体积。把无穷多个薄片加起来，这是积分学的核心思想，比牛顿和莱布尼茨早了十八个世纪。
祈祷书
大约公元 950 年，君士坦丁堡的一位抄写员把阿基米德的几部著作抄在羊皮纸上。1229 年，一位修士需要羊皮纸来做一本祈祷书：他拆开这部抄本，刮掉墨迹，把每页从中间裁开，转过来，在上面写下祷文。这样重复使用的抄本叫作重写本。
1906 年，丹麦语文学家约翰·路德维格·海贝格在君士坦丁堡的一座图书馆里查看这本祈祷书，用放大镜读出了祷文下面阿基米德的文字。这是《方法》唯一已知的抄本，也是《论浮体》唯一的希腊文抄本。
这本书在 20 世纪初再次失踪，1998 年又出现在纽约的一场拍卖会上，因为霉菌和后人在上面伪造的彩绘而严重受损。一位匿名买家以 200 万美元买下了它，并把它存放在巴尔的摩的沃尔特斯艺术博物馆。从 1999 年到 2008 年，一个由科学家和语文学家组成的团队用多个波段的光、紫外线，甚至粒子加速器产生的 X 射线拍摄图像，读出被抹去的文字。他们找到了海贝格当年未能读出的段落。
练习：截面
验证截面之和。把球的一个极点放在 $x = 0$，球心放在 $x = r$。证明球在 $x$ 处截面的半径 $\rho$ 满足 $\rho^2 = 2rx - x^2$，并由此推出球的截面加上圆锥（半径为 $x$）的截面等于 $\pi \cdot 2rx$。
截面到球心的距离是 $|x - r|$，由勾股定理 $\rho^2 = r^2 - (x - r)^2 = 2rx - x^2$。圆锥的顶点在支点，张开的斜率为 1，所以它的截面半径为 $x$。面积相加：$\pi(2rx - x^2) + \pi x^2 = 2\pi r x$。
练习：最后的平衡
已知 $V_{\text{圆柱}} = \pi (2r)^2 \cdot 2r = 8\pi r^3$，$V_{\text{圆锥}} = \frac{1}{3}\pi (2r)^2 \cdot 2r = \frac{8}{3}\pi r^3$，解方程 $2r\,(V_{\text{球}} + V_{\text{圆锥}}) = r\,V_{\text{圆柱}}$。
两边除以 $r$：$2\,(V_{\text{球}} + \frac{8}{3}\pi r^3) = 8\pi r^3$，所以 $V_{\text{球}} = 4\pi r^3 - \frac{8}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$。
来源： 阿基米德，《方法》，命题 2 · Johan Ludvig Heiberg，“Eine neue Archimedeshandschrift”，Hermes 42（1907） · Reviel Netz 与 William Noel，The Archimedes Codex（2007） · Thomas L. Heath，The Method of Archimedes（1912） · William Noel，The Archimedes Palimpsest Project，沃尔特斯艺术博物馆。
图片来源.