在同样献给多西修斯的《论螺线》中，阿基米德研究了一种由运动定义的新曲线。

如果平面上一条直线绕它的一个固定端点匀速旋转，并回到出发的位置，同时有一点从固定端点出发沿这条直线匀速运动，那么这个点就在平面上描出一条螺线。

— 阿基米德，《论螺线》，定义

方程

在极坐标中，点到中心的距离 $r$ 与直线转过的角 $\theta$ 成同样比例增长：

$$r = a\,\theta.$$

每转一整圈，半径增加同样的量 $2\pi a$，所以相邻各圈间距相等，就像黑胶唱片的纹路，或者盘在地上的水管。

圆的三分之一

阿基米德计算了半径在第一圈中扫过的面积。方法仍是穷竭法：把一圈分成许多窄的扇形，一些在曲线内，一些在曲线外，再把它们加起来。用现代记号，角为 $d\theta$、半径为 $r$ 的扇形面积为 $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$，于是

$$A = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}(a\theta)^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{(2\pi)^3}{3} = \frac{4}{3}\pi^3 a^2.$$

以第一圈末端的半径 $R = 2\pi a$ 为半径的圆，面积为 $\pi R^2 = 4\pi^3 a^2$。螺线的面积恰好是它的三分之一：

$$\frac{A}{\pi R^2} = \frac{\frac{4}{3}\pi^3 a^2}{4\pi^3 a^2} = \frac{1}{3}.$$

为了得到这个结果，阿基米德需要一个关于平方和 $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2$ 的公式，它相当于说这个和介于 $\frac{n^3}{3}$ 与 $\frac{(n+1)^3}{3}$ 之间。在微积分中，正是这个和给出了 $\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}$。

切线与圆周

阿基米德还求出了螺线切线的方向，在没有导数的时代，这是了不起的成就。这个结果有一个惊人的推论：在第一圈末端，切线与过中心且垂直于半径的直线相交，交点到中心的距离恰好等于半径为 $R$ 的圆的周长。因此，螺线可以作出一条与圆周等长的线段，进而化圆为方。这不是尺规作图，因为螺线本身不能用这些工具画出来；但它说明，用一条只稍微复杂一点的曲线，这个问题就能解决。

练习：第二圈

半径在第二圈，即从 $\theta = 2\pi$ 到 $\theta = 4\pi$，扫过的面积是多少？与第一圈比较。

$\int_{2\pi}^{4\pi}\frac{a^2\theta^2}{2}\,d\theta = \frac{a^2}{6}\left[(4\pi)^3 - (2\pi)^3\right] = \frac{a^2}{6}\cdot 56\pi^3 = \frac{28}{3}\pi^3 a^2$。第一圈是 $\frac{4}{3}\pi^3 a^2$；第二圈扫过的面积是它的七倍。（第二圈扫过的面积包括第一圈已经扫过的区域；阿基米德还计算了两圈之间的环形区域，它是第一圈的六倍。）

练习：平方和

对 $n = 10$ 验证阿基米德的不等式：$\frac{10^3}{3} < 1^2 + 2^2 + \cdots + 10^2 < \frac{11^3}{3}$。

和为 $\frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385$。界限为 $\frac{1000}{3} \approx 333.3$ 和 $\frac{1331}{3} \approx 443.7$。确实 $333.3 < 385 < 443.7$。随着 $n$ 增大，和除以 $n^3$ 趋近于 $\frac{1}{3}$，螺线的“三分之一”正是由此而来。

来源： 阿基米德，《论螺线》，定义与命题 10、18–20、24 · Thomas L. Heath，The Works of Archimedes（1897） · E. J. Dijksterhuis，Archimedes（1956），第十一章。

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