18 世纪中叶，想学微积分的人会遇到一个难题。牛顿和莱布尼茨的发明才有七十年历史，它的成果散见于科学期刊上的论文、书信，以及用拉丁语、法语和英语写成的书里，记号也各不相同。唯一有名的教科书，洛必达侯爵 1696 年的《无穷小分析》，只讲微分学。没有一本书能带着学生一步一步地从代数走到微分方程。

阿涅西的《分析讲义》就是这样一本书。

两卷四册

全书约一千页，分为四册：

  1. 有限量的分析（第一卷，1748）：代数、方程的解法、解析几何、圆锥曲线和其他曲线，以及“方程的作图”，即借助几何图形解方程。箕舌线就出现在这里。
  2. 微分学（第二卷，1749）：导数、切线、极大值、极小值与拐点。
  3. 积分学：积分、面积、体积、曲线的长度和级数。参见曲线下的面积。
  4. 切线的反方法：也就是今天所说的微分方程。

阿涅西并不打算介绍自己的发现。这本书的价值在于它的编排：每个主题都放在它所依赖的内容之后，每种方法都配有许多解出的例题，全部微积分都用莱布尼茨的记号书写，即 $dx$ 和 $\int$，后来证明这是最实用的记号。

玛丽亚·加埃塔纳·阿涅西像，埃内斯塔·莱尼亚尼·比西根据玛丽亚·隆吉的素描所作的雕版画，1812 年。
玛丽亚·加埃塔纳·阿涅西像，埃内斯塔·莱尼亚尼·比西根据玛丽亚·隆吉的素描所作的雕版画，1812 年。Ernesta Legnani Bisi，据 Maria Longhi · Wikimedia Commons · 公有领域

用直尺和圆规解方程

书中最古老的部分展示了当时一种如今已经消失的习惯：除了用计算解方程，数学家还喜欢作出解，也就是把它画成一条线段。

最简单的例子是方程 $x^2 = ab$，其中 $a$ 和 $b$ 是给定的线段。把 $a$ 和 $b$ 首尾相接放在一条直线上，以整条线段 $a + b$ 为直径画半圆。在 $a$ 与 $b$ 的连接点处作垂线，交半圆于一点。这条垂线的长度 $h$ 就是方程的解：$h^2 = ab$。

为什么？由直径两端和半圆上那一点构成的三角形是直角三角形（它内接于半圆），而直角三角形斜边上的高把斜边分成两段，这两段的乘积等于高的平方。阿涅西还处理了复杂得多的情形，比如用两条圆锥曲线的交点作出三次和四次方程的解。

非凡的反响

1749 年，巴黎科学院的一个委员会审阅了这本书，认为它是这个主题上写得最完整、编排最好的著作。第二卷于 1775 年译成法语，并附有夏尔·博叙的补充。剑桥教授约翰·科尔森的英译本于 1801 年出版。

练习：几何平均

证明在上面的作图中，$h^2 = ab$。

设半圆上的点为 $C$，垂足为 $D$。圆心在直径的中点，半径为 $r = \frac{a + b}{2}$。$D$ 到圆心的距离是 $\left|\frac{a+b}{2} - a\right| = \frac{|b - a|}{2}$。在由圆心、$D$ 和 $C$ 构成的三角形中用勾股定理：

$$h^2 = r^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 = \frac{(a+b)^2 - (b-a)^2}{4} = \frac{4ab}{4} = ab.$$

线段 $h = \sqrt{ab}$ 是 $a$ 和 $b$ 的几何平均。

练习：作出平方根

只用直尺、圆规和一条长为 1 的线段，利用上面的作图画出一条长为 $\sqrt{7}$ 的线段。

取 $a = 1$，$b = 7$：一条长为 8 的线段，在距一端 1 的地方分开。画直径为 8 的半圆，在分点处作垂线。高为 $h = \sqrt{1 \cdot 7} = \sqrt{7}$。用同样的办法，任何可作数的平方根都能画出来。

来源： Maria Gaetana Agnesi，Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana，两卷（1748–1749） · Guillaume de L’Hôpital，Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes（1696） · Maria Gaetana Agnesi，Traités élémentaires de calcul différentiel et de calcul intégral，P. T. d’Antelmy 译，C. Bossut 注（1775） · Massimo Mazzotti，The World of Maria Gaetana Agnesi, Mathematician of God（2007）。

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