阿涅西 1799 年去世时，想不到她的曲线会在远离几何的地方获得第二次生命。19 世纪，它在概率论中重新出现，成为统计学里最具迷惑性的例子之一。

概率密度

我们在曲线下的面积中看到，$y = \frac{1}{1 + x^2}$ 下的总面积是 $\pi$。除以 $\pi$，面积就变成 1，曲线就成了一个概率密度：

$$f(x) = \frac{1}{\pi(1 + x^2)}.$$

这就是柯西分布。一次抽样落在 $c$ 和 $d$ 之间的概率，等于这个区间上曲线下的面积 $\frac{1}{\pi}(\arctan d - \arctan c)$。画出来，它和正态曲线很像：一个以零为中心的对称钟形。区别在尾部。正态分布按 $e^{-x^2/2}$ 下降，降得太快，极大的值几乎不会出现；阿涅西曲线只按 $\frac{1}{x^2}$ 下降。

不存在的均值

这个区别带来了一个惊人的后果。分布的均值是 $x\,f(x)$ 的积分。对柯西分布，正半部分的积分是

$$\int_0^{X} \frac{x}{\pi(1 + x^2)}\,dx = \frac{1}{2\pi}\ln(1 + X^2),$$

当 $X$ 增大时它无限增大。负半部分向另一个方向做同样的事，计算变成了“无穷减无穷”：这个分布没有均值，也没有方差。

实际上，这意味着多次抽样的平均值不会稳定下来。大数定律和中心极限定理要求均值和方差有限，在这里根本不适用。更糟的是，可以证明 $n$ 次柯西抽样的平均值与单次抽样的分布完全相同。收集再多数据也毫无帮助。

另一方面，中位数却很好用：一半面积在零的左边，一半在右边，多次抽样的中位数趋近于零。所以统计学家把阿涅西曲线当作一个警示：在计算平均值之前，最好先弄清楚数据的尾部是轻还是重。

泊松、柯西与物理学

最早注意到这个问题的是西梅翁-德尼·泊松，他在 1824 年把这个分布当作拉普拉斯误差理论的反例。名字来自奥古斯丁-路易·柯西，他在 1853 年与伊雷内-儒勒·比安内梅关于最小二乘法的争论中讨论过它。

在物理学中，同一条曲线以另一个名字出现：洛伦兹线型，以亨德里克·洛伦兹命名。它描述原子和分子光谱中谱线的形状、振子在共振附近的响应，在粒子物理中还描述揭示不稳定粒子的峰的形状（布莱特-维格纳公式）。凡是一边振荡一边慢慢损失能量的东西，往往都会出现阿涅西的女巫。

练习：四分位数

一次柯西抽样落在 $-1$ 和 $1$ 之间的概率是多少？

$\frac{1}{\pi}(\arctan 1 - \arctan(-1)) = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}$。一半的抽样落在 $-1$ 和 $1$ 之间：这就是该分布的四分位数。对标准正态分布，一半落在 $-0.674$ 和 $0.674$ 之间；柯西分布在中间更“分散”，在尾部则分散得多得多。

练习：灯塔

在灯塔问题中，脉冲与海滩垂线的夹角 $\theta$ 在 $-\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{\pi}{2}$ 之间均匀抽取，脉冲打在海滩上的点为 $x = \tan\theta$。证明 $x$ 的密度为 $\frac{1}{\pi(1 + x^2)}$。

脉冲落在 $x$ 左边的概率，就是 $\theta$ 小于 $\arctan x$ 的概率：$F(x) = \frac{\arctan x + \frac{\pi}{2}}{\pi} = \frac{1}{2} + \frac{\arctan x}{\pi}$。密度是它的导数：$F'(x) = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{1 + x^2}$。正是阿涅西曲线除以 $\pi$。

来源： Siméon-Denis Poisson，“Sur la probabilité des résultats moyens des observations”，Connaissance des temps（1824） · Augustin-Louis Cauchy，“Sur les résultats moyens d’observations de même nature”，Comptes rendus de l’Académie des sciences 37（1853） · Stephen M. Stigler，“Cauchy and the Witch of Agnesi”，Biometrika 61（1974）。

阿涅西的全部主题 · ← 切线的反问题 · 大学里的女性 →

图片来源.