我们将推导出一些公式，让我们能够计算三角形的重要线段——高度、中线、内部角平分线、内接圆和外接圆的半径——只知道边的尺寸。在所有这些中，都会出现半周长 $p = \frac{a + b + c}{2}$。

故事

三边面积公式以亚历山大的苍鹭（1 世纪）命名，他在实际测量手册公制中演示了该公式。然而，波斯数学家 al-Biruni 将其归因于两个半世纪前的阿基米德。海伦的演示是纯几何的，圆周是内切的；我们在这里要做的是代数运算，从余弦定理开始。

亚历山大的苍鹭（一世纪），后来的艺术表现。
亚历山大的苍鹭（一世纪），后来的艺术表现。作者身份不明 · 维基共享资源 · 公共领域
海伦的风椭圆，如图所示：蒸汽通过管道上升，管道也作为轴，并通过球体的弯曲喷嘴排出，使其旋转。

来源： Heron (MacTutor) · Heron，度量，第一本书，命题 8。

在日常生活中

  • 仅用卷尺测量面积。 根据海伦公式，边长为 13 米、14 米和 15 米的土地具有 $p = 21$ 和面积 $\sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$ 平方米 - 无需测量任何角度。
  • **最大的圆形喷泉。**在同一块土地上，最大的圆形喷泉的半径为$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$米：它是内接圆周。
  • **一个天线三个城市。**三个城市的等距点是外接圆的圆心；边长为 13、14 和 15 公里，每边相距 $R = \frac{abc}{4S} = \frac{2730}{336} \approx 8{,}1$ 公里。
仅使用卷尺测量的地形：Heron 区域、最大圆源（内切圆）和距角点等距的点 (外心)。

理论

高地

Teorema高地

$$h_a = \frac{2}{a}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$$$h_b = \frac{2}{b}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$$$h_c = \frac{2}{c}\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$
查看演示

令 $\overline{CD}$ 为相对于边 $c$ 的高度。在直角三角形$ADC$、$h_c = b\operatorname{sen}\hat{A}$中；然后，利用余弦定律，

$$h_c^2 = b^2(1 - \cos^2\hat{A}) = b^2 - b^2\left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)^2 = \frac{(2bc)^2 - (b^2 + c^2 - a^2)^2}{4c^2}.$$

分子是平方差：

$$(2bc + b^2 + c^2 - a^2)(2bc - b^2 - c^2 + a^2) = [(b + c)^2 - a^2][a^2 - (b - c)^2] = (b + c + a)(b + c - a)(a - b + c)(a + b - c).$$

如$a + b + c = 2p$、$b + c - a = 2(p - a)$、$a - b + c = 2(p - b)$和$a + b - c = 2(p - c)$：

$$h_c^2 = \frac{16p(p - a)(p - b)(p - c)}{4c^2} = \frac{4p(p - a)(p - b)(p - c)}{c^2}.$$

其他两个类似。

面积：海伦公式

Teorema海伦公式

$$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$
查看演示

$S = \frac{a h_a}{2} = \frac{b h_b}{2} = \frac{c h_c}{2}$；代入上面的任意高度，我们就得到了公式。

Exemplo三角形 13、14、15

$p = 21$ 和 $S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$。高度为 $h_{13} = \frac{168}{13}$、$h_{14} = 12$ 和 $h_{15} = \frac{56}{5}$。

中位数

Teorema中位数

$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$$$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2}$$$$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$$
查看演示

令 $M$ 为 $\overline{BC}$ 的中点。将余弦定理应用于三角形 $AMB$ 和 $AMC$，其中 $M$ 中的角是补角（相反余弦）：

$$c^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} - a\,m_a\cos\theta \qquad b^2 = m_a^2 + \frac{a^2}{4} + a\,m_a\cos\theta.$$

添加$b^2 + c^2 = 2m_a^2 + \frac{a^2}{2}$，即$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$。其他类似。

角平分线 内部

Teorema角平分线 内部

$$S_a = \frac{2}{b + c}\sqrt{bcp(p - a)}$$$$S_b = \frac{2}{a + c}\sqrt{acp(p - b)}$$$$S_c = \frac{2}{a + b}\sqrt{abp(p - c)}$$
查看演示

这是 $\overline{AS}$ 的内平分线 $\hat{A}$， 和 $S$ 在 $\overline{BC}$, $x = BS$ 和 $y = SC$。根据三角形的正弦定理 $ABS$ 和 $ACS$，其角度在 $S$ 是补充（即使 $\operatorname{sen}\theta$):

$$\frac{x}{\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}} = \frac{c}{\operatorname{sen}\theta} \qquad \frac{y}{\operatorname{sen}\frac{\hat{A}}{2}} = \frac{b}{\operatorname{sen}\theta} \;\Longrightarrow\; \frac{x}{c} = \frac{y}{b} = \frac{x + y}{b + c} = \frac{a}{b + c},$$

内部 角平分线 定理；标志 $x = \frac{ac}{b + c}$。将余弦定理应用于三角形 $ABS$：

$$S_a^2 = x^2 + c^2 - 2xc\cos\hat{B} = \left(\frac{ac}{b + c}\right)^2 + c^2 - 2\frac{ac}{b + c} \cdot c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}.$$

化简到分母 $(b + c)^2$ 并化简，分子变为 $bc[(b + c)^2 - a^2] = bc(a + b + c)(b + c - a) = 4bcp(p - a)$，这就是公式的来源。

内切圆的半径

Teorema内切圆的半径

$$r = \frac{S}{p} = \sqrt{\frac{(p - a)(p - b)(p - c)}{p}}$$$$r = (p - a)\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2} = (p - b)\operatorname{tg}\frac{\hat{B}}{2} = (p - c)\operatorname{tg}\frac{\hat{C}}{2}$$
查看演示

将 内心 $I$ 连接到顶点，我们将 $ABC$ 分成三个三角形 $ABI$、$ACI$ 和 $BCI$，高度均为 $r$：

$$S = \frac{c \cdot r}{2} + \frac{b \cdot r}{2} + \frac{a \cdot r}{2} = \frac{a + b + c}{2} \cdot r = p\,r,$$

通过海伦公式我们得到第一个表达式。对于第二个，设$x$、$y$、$z$为从$A$、$B$、$C$绘制的切线段（同一顶点的两条切线相等）。然后$x + y = c$，$y + z = a$，$z + x = b$，并求解系统，

$$x = \frac{b + c - a}{2} = p - a \qquad y = p - b \qquad z = p - c.$$

由于$I$在$\hat{A}$的角平分线中，$\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2} = \frac{r}{x}$，即$r = (p - a)\operatorname{tg}\frac{\hat{A}}{2}$；对于其他顶点也以同样的方式。

外接圆半径

Teorema外接圆半径

$$R = \frac{abc}{4S} = \frac{abc}{4\sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}}$$
查看演示

我们在上一个主题中看到$S = \frac{abc}{4R}$；只需分离 $R$ 并使用 Heron 公式即可。

本节中的练习是[章节列表]中的编号400到410（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap10-triangulos-quaisquer/05-exercicios/).