歴史

名前 偶数関数 そして 奇関数 権力から来ています： $x^2$, $x^4$, $x^6$、…私たちが変わっても変わらない $x$ 置く $-x$、 そして $x$, $x^3$, $x^5$, … 標識を変更します。青年の作品に登場する用語 レオンハルト・オイラー オイラーは、1727 年頃に書かれた、当時提案された曲線の問題である「逆軌道」について述べています。また、オイラーは、コサインが偶数乗のように振る舞い、サインが奇数乗のように振る舞うことにも気づきました。これは、彼が使用した級数で明らかです。 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$ 均等な力しか持たず、 $\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$、ただ奇妙です。

コサイン (赤) とその系列の最初の合計 $1 - \frac{x^2}{2}$ と $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$: 偶数乗のみであるため、コサイン自体と同様に、それらはすべて垂直軸に関して対称です。

出典: オイラー (MacTutor) · 数学の一部の単語の最も初期の既知の用法: E (ジェフ ミラー)。

日常生活での応用

  • ノイズ キャンセリング ヘッドフォン。 ノイズを捕捉し、信号を変更して同じ波を放射します。正弦波が奇数であるため、「反転」波は半周期のシフトに相当し、2 つは互いに打ち消し合います。
  • 圧縮された写真。 JPEG 形式はコサインのみを使用します。これは、画像の各ブロックが鏡のように対称的に拡張され、対称関数 (偶数) がコサインのみで記述されるためです。
  • 両方向に回転します。 ハンドル $30^\circ$ を右または左に回すと、同じ「前進」送り ($\cos$ が偶数) と反対側の偏差 ($\operatorname{sen}$ が奇数) が生成されます。
ノイズキャンセリング: 電話機は、切り替えられた信号と同じ波を放射します。

理論

削減はすべての x に適用されます

第 1 象限に縮小することで、顕著な平等性が確立されます。たとえば、$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ の場合は、$\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(\pi - x)$ と $\cos x = -\cos(\pi - x)$ になります。これらの等式をtodo $x$ 実数に拡張してみましょう。

定理リダクションアイデンティティ

すべての実数 $x$ について、以下が有効です。

  1. $\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(\pi - x)$ e $\cos x = -\cos(\pi - x)$;
  2. $\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(x - \pi)$ e $\cos x = -\cos(x - \pi)$;
  3. $\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(2\pi - x)$ e $\cos x = \cos(2\pi - x)$;
  4. $\operatorname{sen} x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$ e $\cos x = \operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$.
デモを見る

1) すべての $x \in \mathbb{R}$ に対して $x = x_0 + 2k\pi$ があり、$0 \le x_0 < 2\pi$ と $k \in \mathbb{Z}$ があります。したがって、$\pi - x = (\pi - x_0) - 2k\pi$は、$x$と$\pi - x$が正弦軸に対して対称な周期の画像を持っていることを示しています($x_0$の象限に関係なく)。結果として：

$$\operatorname{sen}(\pi - x) = \operatorname{sen} x \qquad \cos(\pi - x) = -\cos x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$$

2)、3)、4) 同様に証明されます: $x - \pi$ と対称的なイメージを持っています $x$ に関連して 中心; $2\pi - x$に関連して、 コサイン軸;そして $\frac{\pi}{2} - x$に関連して、 第1象限の二等分線。例えば、 $\frac{\pi}{2} - x = \left(\frac{\pi}{2} - x_0\right) - 2k\pi$、そしてアーチ $x_0$ そして $\frac{\pi}{2} - x_0$ 合計する $\frac{\pi}{2}$、したがって、それらの画像は二等分線内で対称になります。 $u = v$;この対称性は横座標と縦座標を交換します。 $\operatorname{sen} x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ そして $\cos x = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.

例タイプ π/2 + x および 3π/2 ± x の円弧

恒等式を結合すると、他の円弧の公式が得られます (演習 119)。

$$\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \operatorname{sen}\left[\pi - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right] = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\cos\left[\pi - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right] = -\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\operatorname{sen} x$$

偶数関数と奇数関数

定義ペア機能

関数 $f\colon A \to B$ は次の場合にのみパーです。

$$f(x) = f(-x), \quad \forall x \in A,$$

つまり、変数に対称な値を与えることで、 関数の同じ値が得られます。

例: $|-x| = |x|$ のため、$f(x) = |x|$。 $f(x) = x^2$、$(-x)^2 = x^2$ のため; $f(x) = \dfrac{1}{x^2}$、以降はすべて $x \in \mathbb{R}^*$ の $\dfrac{1}{(-x)^2} = \dfrac{1}{x^2}$。

定義から、偶関数のグラフは$(x, y) \in f \Rightarrow (-x, y) \in f$ なので**$y$ 軸に対して対称**であることがわかります。

偶数関数: $|x|$、$x^2$、および $\frac{1}{x^2}$ - $y$ 軸に関して対称なグラフ。

定義ユニークな機能

関数 $f\colon A \to B$ は次の場合にのみ奇数です。

$$f(-x) = -f(x), \quad \forall x \in A,$$

つまり、変数に対称な値を与えることで、 関数の対称な値が得られます。

例: $2(-x) = -2x$ のため、$f(x) = 2x$。 $f(x) = x^3$、$(-x)^3 = -x^3$ のため; $f(x) = \dfrac{1}{x}$、以降はすべて $x \in \mathbb{R}^*$ の $\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}$。

定義から、奇関数のグラフは$(x, y) \in f \Rightarrow (-x, -y) \in f$ 以降、 デカルト系の原点に対して対称であることがわかります。

奇数関数: $2x$、$x^3$、および $\frac{1}{x}$ — 原点に関して対称なグラフ。

サインとコサインのパリティ

数字$x$と$-x$は、 周期内でコサイン軸に対して対称な画像を持ちます。結果として：

定理パリティ

$$\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen} x \qquad \cos(-x) = \cos x \qquad \forall x \in \mathbb{R}.$$

したがってサイン関数は奇数でコサイン関数は偶数となります。したがって、$\operatorname{tg}(-x) = \dfrac{-\operatorname{sen} x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x$: タンジェントも奇数であり (コタンジェントとコセカントも同様)、セカントは偶数です。

$P$ をドラッグします。点 $P'$、$-x$ のイメージは、コサイン軸上で $P$ と対称です。

このセクションの演習は、章リスト.