Relações fundamentais, simplificação de expressões, redução ao primeiro quadrante e paridade (capítulos III e IV). Teste 41PUC-75 O valor da expressão $25\operatorname{sen}^2 x - 9\operatorname{tg}^2 x$, sabendo que $\operatorname{cossec} x = \frac{5}{4}$ e que $x$ é do primeiro quadrante, é: a) $2$b) $3$c) $4$d) $0$e) $1$ $\operatorname{sen} x = \frac{4}{5}$, $\cos x = \frac{3}{5}$ e $\operatorname{tg} x = \frac{4}{3}$: $25 \cdot \frac{16}{25} - 9 \cdot \frac{16}{9} = 16 - 16 = 0$. Teste 42GV-76 Se $\operatorname{sen} a = \frac{24}{25}$ e $\sec a$ é negativa, então o valor de $\sqrt{\dfrac{1 - \cos a}{1 + \cos a}}$ é: a) $\frac{3}{4}$b) $\frac{3}{5}$c) $\frac{5}{4}$d) $\frac{4}{3}$e) $\frac{1}{2}$ Secante negativa significa cosseno negativo: $\cos a = -\frac{7}{25}$. Então $\sqrt{\frac{1 + 7/25}{1 - 7/25}} = \sqrt{\frac{32}{18}} = \frac{4}{3}$.
A história Os nomes função par e função ímpar vêm das potências: $x^2$, $x^4$, $x^6$, … não mudam quando trocamos $x$ por $-x$, e $x$, $x^3$, $x^5$, … trocam de sinal. Os termos aparecem num trabalho do jovem Leonhard Euler sobre um problema de curvas proposto na época, as “trajetórias recíprocas”, escrito por volta de 1727. Euler percebeu também que o cosseno se comporta como as potências pares e o seno como as ímpares, o que fica claro nas séries que ele usou: $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$ só tem potências pares, e $\operatorname{sen} x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$, só ímpares.
Nos exercícios de cálculo, a relação fundamental dá o módulo e o quadrante dá o sinal. Nas identidades, indique qual dos três métodos você usou. Cálculo das funções a partir de uma delas 73 Sabendo que $\operatorname{sen} x = \dfrac{4}{5}$ e $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi$, calcule as demais funções circulares de $x$. Ver a resoluçãoComo $\dfrac{\pi}{2} < x < \pi \Rightarrow \cos x < 0$, temos: $$\cos x = -\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2 x} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}$$$$\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3} \qquad \operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = \frac{-\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$$$$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{-\frac{3}{5}} = -\frac{5}{3} \qquad \operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x} = \frac{1}{\frac{4}{5}} = \frac{5}{4}.$$ 74 Sabendo que $\operatorname{cossec} x = -\dfrac{25}{24}$ e $\pi < x < \dfrac{3\pi}{2}$, calcule as demais funções circulares de $x$. Ver resposta$\operatorname{sen} x = -\dfrac{24}{25}$, $\cos x = -\dfrac{7}{25}$, $\operatorname{tg} x = \dfrac{24}{7}$, $\operatorname{cotg} x = \dfrac{7}{24}$, $\sec x = -\dfrac{25}{7}$
Uma identidade é uma igualdade que vale para todos os valores em que os dois lados fazem sentido. Demonstrar identidades é o grande treino de manipulação da trigonometria: cada passo usa uma relação já provada. A história Para demonstrar identidades é preciso escrever as funções de forma curta. Até o século XVII isso não existia: cada relação era dita em palavras — “o seno do complemento do arco”, “a tangente do arco dobrado” —, e uma identidade de uma linha ocupava um parágrafo. As abreviações apareceram aos poucos: Gunter usou sin numa figura em 1624, o francês Pierre Hérigone o imprimiu num livro em 1634, e o inglês William Oughtred escrevia algo como s co arc para o cosseno. Foi Euler, na Introductio (1748), quem fixou o uso de sin., cos., tang. como símbolos de quantidades que se somam, multiplicam e elevam ao quadrado — e é esse uso que permite manipular uma identidade como uma expressão algébrica.