同一性 とは、双方が意味をなすすべての値に対して成り立つ平等性です。アイデンティティを実証することは、三角法を操作するための素晴らしいトレーニングです。各ステップでは、すでに証明されている関係を使用します。

歴史

同一性を証明するには関数を短い形式で書く必要があります。 17 世紀まで、これは存在しませんでした。それぞれの関係は、「弧の補数の正弦」、「曲がった弧の正接」という言葉で表現され、一行の同一性が段落を占めていました。略語は少しずつ現れ、ギュンターは1624の図で罪を使用し、フランス人のピエール・ エリゴーヌは1634の本の中でそれを印刷し、イギリス人のウィリアム・ オートレッドは次のようなものを書きました。コサインのs co アーク。 入門 (1748) のオイラーは、sin.、cos.、tang. を量として使用することを確立しました。足し算、掛け算、二乗 — そしてこれを使用することで恒等式を代数式として操作できるようになります。

  1. 1620
    ギュンターは余弦と余接を提案しています。
  2. 1624
    ギュンターは図の中で罪という略語を使っています。
  3. 1626
    アルベール・ ジラールはタブレットにタンとセックを書きます。
  4. 1634
    エリゴーヌは罪を本に印刷します。
  5. 1657
    オートレッドは三角法で余弦の余弧を書きます。
  6. 1748
    オイラーは、sin.、cos.、tang. を数量記号として固定します。
オートレッドの計算尺: 互いに滑り合う 2 つの対数ガンター スケール。長さを加算することは、対数を加算すること、つまり乗算することです。

出典: Oughtred (MacTutor) · 三角関数 (MacTutor) · F. Cajori、数学表記の歴史、vol. II (1929)。

日常生活での応用

  • 地図上の距離。 ナビゲーション アプリケーションは、短距離での丸め誤差を避けるために単位 $\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$ を使用するハバサイン式を使用して地表上の距離を計算します。
  • 127Vソケット。 ソケットの電圧は正弦波のように振動します。アイデンティティ $\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ 平均二乗がピーク二乗の半分であることを示しています。したがって、127 V の「有効」は約 127 V のピークに相当します。 $127\sqrt{2} \approx 180$ v.
  • 圧縮された写真と音楽。 JPEG および MP3 形式は、画像と音声をコサインの合計に分解します。三角恒等式は、この分解を元に戻すことができることを保証します。
プラグ電圧とその二乗: ダブル アーク恒等式は、180 V ピークが 127 V rms に値する理由を説明します。

理論

定義

定義同一の機能

$f$ と $g$ をそれぞれドメイン $D_1$ と $D_2$ の 2 つの関数とします。 $f$ は $g$ と同一であると言い、両方の関数が定義されているすべての $x$ に対して $f(x) = g(x)$ である場合に限り、$f \equiv g$ と表示します。

$$f \equiv g \iff f(x) = g(x),\ \forall x \in D_1 \cap D_2.$$

例

  1. $f(x) = (x + 1)^2 - (x - 1)^2$ のような $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $g(x) = 4x$ のような $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ は同一です。

    $$f(x) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 = 4x = g(x),\ \forall x \in \mathbb{R}.$$

  2. $f(x) = x + 1$ のような $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ のような $g\colon \mathbb{R} - \{1\} \to \mathbb{R}$ は同一です。

    $$g(x) = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1 = f(x),\ \forall x \in \mathbb{R} - \{1\}.$$

    注: ドメインは異なりますが、それらの交差部分では同等性が適用されます。

  3. $f(x) = \operatorname{sen}^2 x$ と $g(x) = 1 - \cos^2 x$、$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ までは、$f(x) = \operatorname{sen}^2 x = 1 - \cos^2 x = g(x)$ からすべての $x \in \mathbb{R}$ まで同一です。

  4. $f(x) = \sec^2 x - \operatorname{tg}^2 x$ のような $f\colon \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right\} \to \mathbb{R}$ と $g(x) = 1$ のような $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ は同一です。

    $$f(x) = \sec^2 x - \operatorname{tg}^2 x = (1 + \operatorname{tg}^2 x) - \operatorname{tg}^2 x = 1 = g(x),\ \text{para todo } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi.$$

アイデンティティを証明する方法

三角関数の恒等式を実証するには、既に確立されている公式を適用できます。これも恒等式です。基本的な関係と、次の章では、約分、加算、乗算、除算、および積への変換の公式が適用されます。この章の演習では基本的な関係のみを使用できます。

性質3つのプロセス

難易度に応じて、最も適切な方法を選択します。

  1. メンバーの 1 つから開始し (通常は最も複雑です)、それを他のメンバーに変換します。

  2. 1 番目のメンバー ($f$) と 2 番目のメンバー ($g$) を別々に変換し、両方とも同じ式 $h$ に到達します。この方法が有効である理由は、

    $$f \equiv h \ \text{ e } \ g \equiv h \;\Longrightarrow\; f \equiv g.$$

  3. 差を構築し$h = f - g$、それを証明します$h \equiv 0$。この方法が有効である理由は、

    $$f - g \equiv 0 \iff f \equiv g.$$

例実際に実行されている 3 つのメソッド

  • 1 番目の方法 — 演習 93: $(1 + \operatorname{cotg}^2 x)(1 - \cos^2 x)$ から開始して 1 に到着します。
  • 2 番目の方法 — 演習 95: $(1 - \operatorname{tg} x)^2 + (1 - \operatorname{cotg} x)^2 = (\sec x - \operatorname{cossec} x)^2$ の 2 つのメンバーは $\dfrac{1 - 2\operatorname{sen} x \cos x}{\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x}$ に減算されます。
  • 3 番目の方法 — 演習 96: 2 つのメンバーの差が相殺されます。

章リスト.

注意ドメインには注意してください

ID は両方のメンバーが定義されている場合にのみ保持する必要があります。たとえば、$\operatorname{sen} x$ または $\cos x$ で割る場合、$x \ne k\pi$ または $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ を意味します。そして、証明したい平等性を決して「反対側に渡す」ことはしないでください。すべての経過が可逆的でない限り、テーゼから出発して何か真実に到達しても、何も証明されません。