恒等式是一种平等，适用于双方都有意义的所有值。展示恒等式是操纵三角学的重要训练：每一步都使用已经证明的关系。

故事

为了证明身份，有必要以简短的形式编写函数。直到 17 世纪，这种情况还不存在：每种关系都用文字表示——“弧的补码的正弦”、“弯曲弧的正切”——并且单行恒等式占据一个段落。缩写逐渐出现：Gunter在1624的图中使用了sin，法国人Pierre Hérigone将其打印在1634的书中，英国人William Oughtred写了类似的东西s co arc 表示余弦。 欧拉在Introductio (1748)中确立了使用sin.、cos.、*tang.*作为数量 相加、相乘和平方 — 正是这种用法允许您将恒等式作为代数表达式进行操作。

  1. 1620
    Gunter 提出了余正弦 和余切线。
  2. 1624
    Gunter 在图中使用了缩写 sin。
  3. 1626
    Albert Girard 在他的平板电脑上写下 tan 和 sec。
  4. 1634
    Hérigone 在书中打印了sin。
  5. 1657
    Oughtred，在三角学中，将余弦写为s co arc。
  6. 1748
    欧拉将sin.、cos.、*tang.*修复为数量符号。
奥特雷德计算尺：两个相互滑过的对数冈特刻度。长度相加就是对数相加，即相乘。

资料来源： Oughtred (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor) · F. Cajori，数学符号史，卷。 II (1929)。

在日常生活中

  • **地图上的距离。**导航应用程序使用haversine公式计算地球表面的距离，该公式使用恒等式$\operatorname{sen}^2\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{2}$来避免短距离的舍入误差。
  • 127 V 插座。 插座电压呈正弦曲线振荡；恒等式 $\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$ 显示均方是峰值平方的一半。因此，“有效”127 V 对应于约 $127\sqrt{2} \approx 180$ V 的峰值。
  • 压缩的照片和音乐。 JPEG 和 MP3 格式将图像和声音分解为余弦和；三角恒等式保证这种分解可以被撤销。
插头电压及其平方：双弧恒等式解释了为什么 180 V 峰值值 127 V rms。

理论

定义

Definição相同的功能

令$f$和$g$分别是域$D_1$和$D_2$的两个函数。我们说 $f$ 与 $g$相同，并且当且仅当定义了两个函数的所有 $x$ 都为 $f(x) = g(x)$ 时，我们才指示 $f \equiv g$：

$$f \equiv g \iff f(x) = g(x),\ \forall x \in D_1 \cap D_2.$$

示例

  1. $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 使得 $f(x) = (x + 1)^2 - (x - 1)^2$ 和 $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 使得 $g(x) = 4x$ 相同，因为

    $$f(x) = x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 = 4x = g(x),\ \forall x \in \mathbb{R}.$$

  2. $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 使得 $f(x) = x + 1$ 和 $g\colon \mathbb{R} - \{1\} \to \mathbb{R}$ 使得 $g(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ 相同，因为

    $$g(x) = \frac{(x + 1)(x - 1)}{x - 1} = x + 1 = f(x),\ \forall x \in \mathbb{R} - \{1\}.$$

    注意：域不同，但它们的交集处相等。

  3. $f(x) = \operatorname{sen}^2 x$和$g(x) = 1 - \cos^2 x$，从$\mathbb{R}$到$\mathbb{R}$，都是相同的：$f(x) = \operatorname{sen}^2 x = 1 - \cos^2 x = g(x)$到所有$x \in \mathbb{R}$。

  4. $f\colon \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right\} \to \mathbb{R}$ 使得 $f(x) = \sec^2 x - \operatorname{tg}^2 x$ 和 $g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 使得 $g(x) = 1$ 相同，因为

    $$f(x) = \sec^2 x - \operatorname{tg}^2 x = (1 + \operatorname{tg}^2 x) - \operatorname{tg}^2 x = 1 = g(x),\ \text{para todo } x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi.$$

如何证明身份

为了证明三角恒等式，我们可以应用任何已经建立的公式——这也是一个恒等式：基本关系，以及在接下来的章节中，减少、加法、乘法、除法和转换为乘积的公式。在本章的练习中，我们只能使用基本关系。

Propriedade三个流程

根据难度，我们选择最合适的方法：

  1. 我们从其中一个成员开始（通常是最复杂的），然后将其转换为另一个成员。

  2. 我们分别转换第一个成员 ($f$) 和第二个成员 ($g$)，两者都得到相同的表达式 $h$。该方法有效是因为

    $$f \equiv h \ \text{ e } \ g \equiv h \;\Longrightarrow\; f \equiv g.$$

  3. 我们构建差异 $h = f - g$ 并证明 $h \equiv 0$。该方法有效是因为

    $$f - g \equiv 0 \iff f \equiv g.$$

Exemplo三种方法的实际运用

  • 第一种方法 — 练习 93：我们从 $(1 + \operatorname{cotg}^2 x)(1 - \cos^2 x)$ 开始，到达 1。
  • 第二种方法 — 练习95：$(1 - \operatorname{tg} x)^2 + (1 - \operatorname{cotg} x)^2 = (\sec x - \operatorname{cossec} x)^2$的两个成员减少到$\dfrac{1 - 2\operatorname{sen} x \cos x}{\operatorname{sen}^2 x \cos^2 x}$。
  • 第三种方法 - 练习96：两个成员之间的差异抵消。

参见章节列表.

Atenção小心域名

身份只需保存定义两个成员的位置。例如，当除以$\operatorname{sen} x$或$\cos x$时，意味着$x \ne k\pi$或$x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$。永远不要将你想要证明的等式“传递给另一边”：从论文开始并得出正确的结论并不能证明任何东西，除非所有段落都是可逆的。