Euler's Eyes
2026-10-22
三角比率和解直角三角形
角度选择边的角色
选择直角三角形中的锐角 $\alpha$。相对于它，一侧是相对的，另一侧是相邻的。如果我们换个角度，这些角色就会颠倒过来；斜边保持不变。
如果两个三角形具有相同的锐角，则它们相似。因此，它们对应边之间的比率相等：
$$\sin\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}},\quad \tan\alpha=\frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}}.$$将第一个商除以第二个商，我们得到 $\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$。由于锐角互补，因此 $\sin(90°-\alpha)=\cos\alpha$ 也是互补的。
五种数据类型
称斜边为 $a$、$\alpha$ 的对边为 $b$，以及相邻的边为 $c$。
| 已知数据 | 如何完成 |
|---|---|
| 斜边 $a$ 和角 $\alpha$ | $b=a\sin\alpha$, $c=a\cos\alpha$ |
| 对边 $b$ 和角度 $\alpha$ | $a=b/\sin\alpha$, $c=b/\tan\alpha$ |
| 邻边 $c$ 和角度 $\alpha$ | $a=c/\cos\alpha$, $b=c\tan\alpha$ |
斜边 $a$ 和边 $b| $c=\sqrt{a^2-b^2}$，然后 $\sin\alpha=b/a$ |
|
| 固定 $b,c$ | $a=\sqrt{b^2+c^2}$，然后 $\tan\alpha=b/c$ |
在后两种情况下，以度为单位的表格或计算器有助于获得角度。另一个高音值是 $90°-\alpha$。反函数将在高中学习。
工作示例：梯子
一个 5 米的梯子使 $60°$ 成为地面。它在墙上的高度是另一侧：
$$h=5\sin60°=\frac{5\sqrt3}{2}\text{ m}.$$从底座到墙壁的距离是相邻腿：
$$d=5\cos60°=\frac52=2{,}5\text{ m}.$$毕达哥拉斯检查，$h^2+d^2=75/4+25/4=25=5^2$。
在观察高度处应用
如果您测量从眼睛到树的高度，计算结果会给出眼睛与树顶之间的差异。添加眼睛的高度即可得到树的总高度。水平距离和角度必须参考同一个三角形。
在日常生活中
- 手机高度。 应用程序测量与建筑物顶部的角度，然后用切线将距离转换为高度。
- **坡道。**无障碍标准限制了坡道的坡度，三角比确定了必要的长度。
- **消防员梯子。**梯子角度的正弦值表明梯子到达的高度。
有决心的练习
1。 当太阳高度为 $45°$ 时，路灯投射 6 米的阴影。你有多高？
检查分辨率 1
$h=6\tan45°=6$ 米，假设垂直杆和水平地形。
2。 一个 13 米的梯子在垂直墙壁上到达 12 米高。它的底座离墙有多远？
检查分辨率 2
$d=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$ m.
在互动书中
交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：
本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。