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Razões trigonométricas e resolução de triângulos retângulos

O ângulo escolhe o papel do cateto Escolha um ângulo agudo $\alpha$ em um triângulo retângulo. Em relação a ele, um cateto é oposto e o outro é adjacente. Se trocarmos de ângulo, esses papéis se invertem; a hipotenusa continua a mesma. Se dois triângulos têm o mesmo ângulo agudo, são semelhantes. Por isso, as razões entre seus lados correspondentes são iguais:

October 22, 2026 Iniciar leitura

Pitágoras, altura e projeções no triângulo retângulo

Nomear cada segmento Em um triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Chame-a de $a$ e os catetos de $b,c$. Os outros ângulos são agudos e somam $90°$. Trace a altura $h$ até a hipotenusa. Ela divide $a$ em duas projeções: $m$, associada ao cateto $b$, e $n$, associada ao cateto $c$. Assim, $m+n=a$. Demonstração por semelhança Os dois triângulos menores têm um ângulo reto e um ângulo agudo igual ao do triângulo original. São semelhantes a ele. Comparando os lados correspondentes:

October 22, 2026 Iniciar leitura

Demonstrações dos valores de 30, 45 e 60 graus

Dois desenhos substituem a memorização As razões trigonométricas de um ângulo agudo são: $$\sin\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}},\quad \cos\alpha=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}},$$ $$\tan\alpha=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.$$Elas podem ser calculadas exatamente para alguns ângulos usando Pitágoras. Consulte a aula de relações métricas desta trilha para a demonstração do teorema. O triângulo de 45 graus A diagonal de um quadrado de lado 1 divide-o em dois triângulos retângulos isósceles. Os ângulos agudos são iguais e somam $90°$; cada um mede $45°$.

October 21, 2026 Iniciar leitura

Polígonos inscritos e o seno de meio ângulo central

Uma corda entre dois raios Inscreva um polígono regular de $n\ge3$ lados em uma circunferência de raio $R$. Ligue dois vértices vizinhos ao centro O. O triângulo formado tem dois lados iguais a $R$ e base igual ao lado $\ell$ do polígono. Os $n$ ângulos centrais iguais completam uma volta. Cada um mede $360°/n$. Trace a altura desse triângulo a partir de O. Por simetria, ela corta a base e o ângulo central ao meio.

October 21, 2026 Iniciar leitura

Medida de ângulos em graus, minutos e segundos

Uma unidade para comparar giros Dividir uma volta em 360 partes iguais define o grau. Uma volta inteira mede $360°$; meia-volta, $180°$; um quarto, $90°$. Ângulos entre $0°$ e $90°$ são agudos; entre $90°$ e $180°$, obtusos. Em uma circunferência, a medida de um arco em graus é a medida de seu ângulo central correspondente. Para distinguir os dois arcos com os mesmos extremos, indique qual está sendo medido. Partes menores do grau Um grau tem 60 minutos de arco e cada minuto tem 60 segundos de arco:

October 21, 2026 Iniciar leitura

Arcos, cordas, semirretas e ângulos

Começar pelo desenho Marque pontos A e B distintos em uma circunferência. Eles a dividem em dois arcos, ambos incluindo A e B. A corda AB é o segmento reto entre os pontos. Um arco não é um segmento. Se os extremos coincidem, distinguimos o arco nulo, que se reduz ao ponto, e o arco de uma volta, que percorre a circunferência inteira. Essa distinção será importante ao comparar a posição final com o giro realizado.

October 21, 2026 Iniciar leitura

Triângulos que crescem sem mudar de forma

Uma rampa desenhada em quadrinhos Em uma malha, desenhe um caminho de 3 quadrinhos para a direita e 4 para cima. Ligue o começo ao fim por um segmento. Você formou um triângulo com um canto reto: um triângulo retângulo. Agora faça uma cópia com todos os comprimentos dobrados. O caminho horizontal terá 6 quadrinhos; o vertical, 8. Os comprimentos mudaram, mas as aberturas dos cantos permaneceram iguais. $$3\cdot2=6,\qquad4\cdot2=8.$$Por que dobrar só um lado muda a forma? Compare duas cópias: na primeira, dobre o caminho horizontal e o vertical; na segunda, dobre só o horizontal. Na segunda cópia a rampa fica mais deitada. Crescer sem mudar de forma exige ampliar todas as direções na mesma proporção.

October 21, 2026 Iniciar leitura

Cantos, raios e caminhos na roda

Dois caminhos entre os mesmos pontos Desenhe uma roda e marque nela dois pontos, A e B. Ligue-os com uma linha reta: ela é uma corda. Agora acompanhe a borda da roda de A até B: você percorreu um arco. Pela borda existem dois caminhos possíveis; indique qual está usando. O centro é o ponto no meio da roda. Um segmento do centro até a borda é um raio. Todos os raios de uma mesma roda têm o mesmo comprimento.

October 21, 2026 Iniciar leitura

Voltas inteiras, meias-voltas e quartos

Dê uma volta com o corpo Olhe para uma parede. Gire até olhar para a parede de trás: você fez meia-volta. Mais meia-volta leva de volta ao começo. Agora tente fazer o mesmo giro em quatro partes iguais. Cada parte é um quarto de volta. Uma volta pode ser repartida de vários jeitos. Duas metades e quatro quartos completam a mesma volta: $$\frac12+\frac12=1,\qquad \frac14+\frac14+\frac14+\frac14=1.$$Aqui o número 1 representa uma volta inteira. Não estamos medindo o tamanho do caminho que seus pés percorrem, mas o giro de sua direção.

October 21, 2026 Iniciar leitura

Resolução de triângulos e discussão do caso ambíguo

Quais dados determinam um triângulo? Resolver um triângulo é obter seus lados e ângulos a partir de dados suficientes. Use sempre a convenção: $a,b,c$ opostos a $A,B,C$. Um triângulo não degenerado tem lados positivos e ângulos entre 0 e $\pi$. Um lado e dois ângulos Conhecendo $a,B,C$, calcule $A=\pi-B-C$. É necessário $B+C<\pi$. A lei dos senos fornece: $$b=\frac{a\sin B}{\sin A},\qquad c=\frac{a\sin C}{\sin A}.$$Os dados determinam um triângulo, a menos de posição e reflexão.

October 21, 2026 Iniciar leitura

Alturas, Heron, medianas, bissetrizes e raios

Obter medidas especiais a partir dos lados Considere lados $a,b,c$, área $K$ e semiperímetro $s=(a+b+c)/2$. Exigimos um triângulo não degenerado: lados positivos e cada lado menor que a soma dos outros dois. Demonstrar a fórmula de Heron Da lei dos cossenos, $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$. Em $K=bc\sin A/2$, use $\sin^2A=1-\cos^2A$: $$\begin{aligned} 16K^2&=4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2\\ &=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)\\ &=(a+b+c)(b+c-a)\\ &\quad\cdot(a+b-c)(a-b+c)\\ &=16s(s-a)(s-b)(s-c). \end{aligned}$$A área é positiva, então: $$K=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.$$Alturas Como $K=ah_a/2=bh_b/2=ch_c/2$: $$h_a=\frac{2K}{a},\qquad h_b=\frac{2K}{b},\qquad h_c=\frac{2K}{c}.$$Substituir a expressão de Heron fornece cada altura apenas em função dos lados. Também valem $h_a=b\sin C=c\sin B$ e suas permutações.

October 21, 2026 Iniciar leitura

Leis dos senos, dos cossenos, projeções e áreas

Fixar a notação Em um triângulo não degenerado, os ângulos $A,B,C$ estão opostos aos lados $a,b,c$, respectivamente. Todos os lados são positivos e $A+B+C=\pi$. Demonstração da lei dos cossenos Coloque o vértice A na origem, B em $(c,0)$ e C em $(b\cos A,b\sin A)$. A distância entre B e C é $a$. Pelo teorema de Pitágoras aplicado às diferenças de coordenadas: $$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$O argumento vale também para ângulos obtusos. Se $A=\pi/2$, o termo de cosseno é zero e reencontramos Pitágoras. Permutar as letras fornece as outras duas leis dos cossenos.

October 21, 2026 Iniciar leitura