Euler's Eyes
2026-10-21
正弦、余弦、投影和面积定律
修复符号
在非退化三角形中，角 $A,B,C$ 分别与边 $a,b,c$ 相对。所有面均为正且 $A+B+C=\pi$。
余弦定律的演示
将顶点 A 放置在原点，B 放置在 $(c,0)$ 处，C 放置在 $(b\cos A,b\sin A)$ 处。 B 和 C 之间的距离是 $a$。将毕达哥拉斯定理应用于坐标差：
$$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$该论证也适用于钝角。如果$A=\pi/2$，余弦项为零，我们再次找到毕达哥拉斯。排列字母可得出另外两个余弦定律。
正弦定理的面积和证明
即使脚落在底座延伸部分上，相对于 $c$ 的高度也会测量为 $b\sin A$。面积 $K$ 为：
$$K=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}.$$将三个表达式相等并除以 $abc/2>0$ 得出：
$$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.$$如果$R$是外接圆的半径，则内切角$A$所对的弦满足$a=2R\sin A$。对于高 $A$，这来自于将由弦和两个半径形成的三角形分成两半；对于 $A$ 钝角，使用相同正弦的补充。在直的情况下，弦是直径。所以：
$$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,$$$$K=\frac{abc}{4R}.$$
投影关系
围绕一侧方向的位移相加，并带有符号。将边 $c$ 和 $b$ 投影到 $a$ 的直线上：
$$a=b\cos C+c\cos B.$$如果其中一个角是钝角，则其投影为负，因为其余弦为负。类似地，$b=a\cos C+c\cos A$和$c=a\cos B+b\cos A$。
切线定律
根据正弦定理，对于 $a\ne b$：
$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\sin A+\sin B}{\sin A-\sin B}.$$将分子和分母转化为乘积并化简非零因子：
$$\frac{a+b}{a-b}= \frac{\tan((A+B)/2)}{\tan((A-B)/2)}.$$其他关系是通过交换边对和角对得到的。若为$a=b$，则分母为$a-b$的表达式不存在；三角形必须直接视为等腰三角形。
工作示例
如果 $b=5$、$c=7$ 和 $A=60°$：
$$a=\sqrt{25+49-70\cdot\frac12}=\sqrt{39},$$$$K=\frac{5\cdot7\cdot\sin60°}{2}=\frac{35\sqrt3}{4}.$$
长度和面积保持精确，没有舍入根部。
在日常生活中
- 导航。 两艘船距离港口 8 公里和 5 公里，航线为 $60^\circ$，彼此相距 7 公里（余弦定律）。
- 土地。 三角形地块的面积从两侧延伸，它们之间的角度：$\frac{1}{2}ab\operatorname{sen} C$。
- 地形。 通过一个底面和两个角，正弦定律给出了到不可到达点的距离。
有决心的练习
1。 两条边的尺寸为 6 和 8 厘米，它们之间的角度为 $60°$。计算第三边。
检查分辨率 1
$a^2=36+64-96\cdot1/2=52$，然后 $a=2\sqrt{13}$ 厘米。
2. 如果 $a=10$ cm，对角为 $30°$，则计算外接半径。
检查分辨率 2
$2R=a/\sin A=10/(1/2)=20$ 厘米，然后 $R=10$ 厘米。
在互动书中
交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：
本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。