表記を修正

非縮退三角形では、角度 $A,B,C$ はそれぞれ辺 $a,b,c$ の反対側になります。すべての面がプラスで $A+B+C=\pi$ です。

余弦の法則のデモンストレーション

頂点 A を原点に、B を $(c,0)$ に、C を $(b\cos A,b\sin A)$ に配置します。 BとCの間の距離は$a$です。ピタゴラスの定理を座標の差に適用すると、次のようになります。

$$\begin{aligned} a^2&=(b\cos A-c)^2+(b\sin A)^2\\ &=b^2(\cos^2A+\sin^2A)+c^2-2bc\cos A\\ &=b^2+c^2-2bc\cos A. \end{aligned}$$

この議論は鈍角にも当てはまります。 $A=\pi/2$ の場合、コサイン項はゼロとなり、ピタゴラスが再び見つかります。文字を並べ替えると、他の 2 つのコサイン法則が得られます。

正弦の法則の領域とデモンストレーション

足がベース延長部分に落ちた場合でも、$c$ に対する高さは $b\sin A$ になります。エリア$K$は次のとおりです。

$$K=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}.$$

3 つの式を等しくして $abc/2>0$ で割ると、次のようになります。

$$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}.$$

外接円の半径を$R$とすると、内接角$A$をなす弦は$a=2R\sin A$を満たす。高い $A$ の場合、これは文字列と 2 つの半径によって形成される三角形を半分に分割することによって得られます。 $A$ 鈍角の場合は、同じ正弦の補足を使用してください。ストレートの場合、弦は直径です。したがって：

$$\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R,$$

$$K=\frac{abc}{4R}.$$

射影関係

片側方向に関する変位は、符号付きで合計されます。辺 $c$ と $b$ を $a$ の直線に投影する:

$$a=b\cos C+c\cos B.$$

角度の 1 つが鈍角である場合、その余弦は負であるため、その投影は負になります。同様に$b=a\cos C+c\cos A$と$c=a\cos B+b\cos A$。

接線の法則

正弦の法則により、$a\ne b$ の場合:

$$\frac{a+b}{a-b}=\frac{\sin A+\sin B}{\sin A-\sin B}.$$

分子と分母を積に変換し、非ゼロ因数を単純化します。

$$\frac{a+b}{a-b}= \frac{\tan((A+B)/2)}{\tan((A-B)/2)}.$$

他の関係は、辺と角度のペアを交換することによって得られます。 $a=b$ の場合、分母が $a-b$ の式は存在しません。三角形は直接二等辺として扱われなければなりません。

作業例

$b=5$、$c=7$、$A=60°$の場合:

$$a=\sqrt{25+49-70\cdot\frac12}=\sqrt{39},$$

$$K=\frac{5\cdot7\cdot\sin60°}{2}=\frac{35\sqrt3}{4}.$$

長さと面積は正確なままであり、部首は丸められません。

日常生活での応用

  • 航行。 港から 8 km と 5 km にある 2 隻の船は、ルート $60^\circ$ 上で互いに 7 km 離れています (余弦の法則)。
  • 土地。 三角形の敷地の面積は、2 つの辺とそれらの間の角度から広がります: $\frac{1}{2}ab\operatorname{sen} C$。
  • 地形。 底辺と 2 つの角度を使用すると、サインの法則により、アクセスできないポイントまでの距離が得られます。
航行における余弦の法則: 2 隻の船間の距離。

決意を持って練習する

1. 2 辺の長さは 6 と 8 cm、それらの間の角度は $60°$ です。 3 番目の辺を計算します。

解像度確認1

$a^2=36+64-96\cdot1/2=52$、次に $a=2\sqrt{13}$ cm。

2. $a=10$cm、対角が$30°$の場合、外接半径を計算します。

解像度確認2

$2R=a/\sin A=10/(1/2)=20$ cm、次に $R=10$ cm。

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