円弧の加算および減算の公式

ベクトルを回転する

水平単位ベクトルと垂直単位ベクトルを考えてみましょう。 $a$ の回転後、それぞれ $(\cos a,\sin a)$ と $(-\sin a,\cos a)$ を指し始めます。 2 番目の方向は最初の方向に対して垂直で、正の方向です。

$b$ に対応する点は、水平ベクトルの $\cos b$ 倍と垂直ベクトルの $\sin b$ 倍の合計です。回転はこの分解を保存します。 $a$を回した後：

$$\begin{aligned} (\cos(a+b),\sin(a+b)) &=\cos b(\cos a,\sin a)\\ &\quad+\sin b(-\sin a,\cos a). \end{aligned}$$

座標を比較すると、和の公式が得られます。 $b$ を $-b$ に置き換えてパリティを使用すると、次のような違いが生じます。

$$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b,$$

$$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b.$$

記号の選択は対応しています。式全体の一番上の記号、または式全体の一番下の記号です。

サインをコサインで割ってから、分子と分母を $\cos a\cos b$ で割ります。

$$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.$$

この書き込みには、$\tan a$、$\tan b$、および結果が存在する必要があります。特に、分母をゼロにすることはできません。

コサインをサインで除算し、$\cot a=\cos a/\sin a$ を使用します。

$$\cot(a+b)=\frac{\cot a\cot b-1}{\cot a+\cot b},$$

$$\cot(a-b)=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot b-\cot a}.$$

これらの形式は両方とも、$\sin a\sin b\ne0$ とゼロ以外の末尾の分母を必要とします。コタンジェントを含む式は、サインとコサインで直接書かれた商よりも小さな領域を持つことができます。

$75°=45°+30°$の場合:

$$\begin{aligned} \sin75° &=\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} +\frac{\sqrt2}{2}\frac12\\ &=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$

差分式は$\sin15°=(\sqrt6-\sqrt2)/4$となります。角度を追加することは、その正弦を追加することを意味しません。$\sin(a+b)$ には 2 つの座標が含まれます。

画像の回転 写真を回転すると、回転行列が各点に適用されます。これは正弦と余弦の和の公式にすぎません。
携帯電話の地図 画面に表示されている方向にコンパスの回転を加えると、円弧が追加されます。
新しい値。 $45^\circ$ と $30^\circ$ を使用すると、$15^\circ$ と $75^\circ$ の正確な値が得られ、大工の切断や取り付けに役立ちます。

加算式による、点ごとの図形の回転。

1. $\cos75°$を計算します。

解像度確認1

$\cos(45°+30°)=\sqrt6/4-\sqrt2/4=(\sqrt6-\sqrt2)/4$.

2. $\tan15°$を計算します。

解像度確認2

$\tan(45°-30°)=(1-1/\sqrt3)/(1+1/\sqrt3)=2-\sqrt3$.

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