圆弧加减法公式

旋转向量

考虑水平和垂直单位向量。旋转$a$后，它们开始分别指向$(\cos a,\sin a)$和$(-\sin a,\cos a)$。第二个与第一个垂直，方向为正。

与 $b$ 对应的点是 $\cos b$ 乘以水平向量与 $\sin b$ 乘以垂直向量之和。旋转保留了这种分解。转动$a$后：

$$\begin{aligned} (\cos(a+b),\sin(a+b)) &=\cos b(\cos a,\sin a)\\ &\quad+\sin b(-\sin a,\cos a). \end{aligned}$$

比较坐标，我们得到求和公式。将 $b$ 替换为 $-b$ 并使用奇偶校验会产生差异：

$$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b,$$

$$\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b.$$

符号选择是对应的：整个公式中的顶部符号或整个公式中的底部符号。

将正弦除以余弦，然后将分子和分母除以 $\cos a\cos b$：

$$\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}.$$

这种写法要求$\tan a$、$\tan b$和结果存在。特别是，分母不能为零。

将余弦除以正弦并使用 $\cot a=\cos a/\sin a$：

$$\cot(a+b)=\frac{\cot a\cot b-1}{\cot a+\cot b},$$

$$\cot(a-b)=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot b-\cot a}.$$

这两种形式都需要 $\sin a\sin b\ne0$ 和非零尾随分母。具有余切的表达式可以具有比直接用正弦和余弦写出的商更小的定义域。

对于 $75°=45°+30°$：

$$\begin{aligned} \sin75° &=\frac{\sqrt2}{2}\frac{\sqrt3}{2} +\frac{\sqrt2}{2}\frac12\\ &=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$

差值公式给出$\sin15°=(\sqrt6-\sqrt2)/4$。添加角度并不意味着添加它们的正弦：$\sin(a+b)$ 涉及两个坐标。

图像旋转。 旋转照片会将旋转矩阵应用于每个点，无非就是正弦和余弦求和公式。
**手机上的地图。**将罗盘旋转添加到屏幕上显示的方向就是添加弧线。
**新值。**通过 $45^\circ$ 和 $30^\circ$，可以获得 $15^\circ$ 和 $75^\circ$ 的精确值，这在木工切割和配件中很有用。

通过加法公式逐点旋转图形。

**1。**计算$\cos75°$。

检查分辨率 1

$\cos(45°+30°)=\sqrt6/4-\sqrt2/4=(\sqrt6-\sqrt2)/4$.

**2。**计算$\tan15°$。

检查分辨率 2

$\tan(45°-30°)=(1-1/\sqrt3)/(1+1/\sqrt3)=2-\sqrt3$.

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。