Euler's Eyes
2026-10-20
减少第二、第三、第四象限
一个点及其反射
选择$0<\alpha<\pi/2$，其图像为$(\cos\alpha,\sin\alpha)$。垂直轴上的反射会改变第一个坐标的符号；水平轴上的反射与第二个轴上的反射交换；关于原点的对称性交换两者。
这三个操作生成点$\pi-\alpha$、$\pi+\alpha$和$2\pi-\alpha$。标识：
| 角度 | 正弦 | 余弦 | 切线 |
|---|---|---|---|
| $\pi-\alpha$ | $\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
| $\pi+\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $-\cos\alpha$ | $\tan\alpha$ |
| $2\pi-\alpha$ | $-\sin\alpha$ | $\cos\alpha$ | $-\tan\alpha$ |
第二象限演示
$P=(u,v)$ 在垂直轴上的反射是 $P'=(-u,v)$。高度保持不变，但水平位置变为负值。由于 $P'$ 对应于角度 $\pi-\alpha$：
$$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\qquad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha.$$除以坐标，$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$。表的其他行通过相应的反射来演示。
其他三个函数
余切与正切具有相同的符号；正割与余弦具有相同的符号；余割，与正弦符号相同。考虑到分母不能为零的点，取表项的倒数即可得到它们的值。
三个例子
$$\sin\frac{5\pi}{6}=\sin\frac\pi6=\frac12,$$$$\cos\frac{5\pi}{4}=-\cos\frac\pi4=-\frac{\sqrt2}{2},$$
$$\tan\frac{11\pi}{6}=-\tan\frac\pi6=-\frac{\sqrt3}{3}.$$
首先我们确定象限，然后确定参考角，最后确定符号。如果输入有多个循环，我们在这些步骤之前删除多个 $2\pi$。
在日常生活中
- **计算器和计算机。**每个计算器在计算之前都会将弧线缩小到第一象限，这可以让您节省一个小表格。
- 导航。 第三象限中的航向（如 $225^\circ$）有两个负面组成部分：船向西和向南行驶。
- **游戏。**通过改变水平分量的符号，从$30^\circ$的方向获得角色面向$150^\circ$的方向。
有决心的练习
**1。**计算$\cos(7\pi/6)$和$\sin(7\pi/4)$。
检查分辨率 1
$7\pi/6=\pi+\pi/6$，则余弦为$-\sqrt3/2$。作为$7\pi/4=2\pi-\pi/4$，正弦为$-\sqrt2/2$。
**2。**计算$\sec(2\pi/3)$。
检查分辨率 2
$\cos(2\pi/3)=-1/2$。它的倒数是$-2$。
在互动书中
交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：
本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。