記号付きの幅

サイクル内の $P=(u,v)$ に対して、$\cos x=u$ を定義します。コサインは右の半円では正、左の半円では負になります。ドメインは$\mathbb R$、イメージは$[-1,1]$です。

軸点は以下を提供します。

$x$ $0$ $\pi/2$ $\pi$ $3\pi/2$ $2\pi$
$\cos x$ $1$ $0$ $-1$ $0$ $1$

ゼロは$x=\pi/2+k\pi$です。最大値は $x=2k\pi$ で発生し、最小値は $x=\pi+2k\pi$ で発生し、$k\in\mathbb Z$ になります。

パリティと周期の実証

$x$と$-x$の点は横軸の鏡映です。その水平座標は等しいです。

$$\cos(-x)=\cos x.$$

したがって、余弦は偶数になります。完全に回転すると座標が保存されるため、$\cos(x+2\pi)=\cos x$になります。正の期間 $T$ が存在するには、特に $\cos T=\cos0=1$ が有効である必要があります。この値を持つ最小の $T>0$ は $2\pi$ であり、これがその基本周期です。

増加と減少

点が上半円を右から左に移動すると、その水平座標は 1 から $-1$ に下がります。したがって、$[2k\pi,\pi+2k\pi]$ではコサインが減少します。下の半円では $[\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi]$ で成長します。

サインとの関係

$\pi/2$ を回転すると、回転方向に関して、水平位置と高さが入れ替わります。結果として:

$$\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right).$$

2 つのグラフは同じ形状をしており、水平方向にオフセットされています。同じ入力に対してそれらの値が同じであると結論付ける必要はありません。$x=0$ では、サインは 0、コサインは 1 です。

たとえば、$f(x)=3\cos(2x)+1$ は振幅 3、周期 $\pi$、イメージ $[-2,4]$ を持ちます。

日常生活での応用

  • ソーラー パネル。 受信電力は入射角の余弦に比例します。太陽が正面にある場合に最大となり、太陽がパネルに近づくとゼロになります。
  • エンジン ピストン。 ピストンの位置はおよそ $r\cos\theta$ に従います。$\theta$ はシャフトの回転です。
  • 投影法。 太陽を頭に置き、$\alpha$ に傾いた長さ $L$ の棒の影は、$L\cos\alpha$ になります。
ソーラー パネルからのエネルギーは、入射角の余弦に従います。

決意を持って練習する

1. $\cos(-5\pi/3)$を計算します。

解像度確認1

パリティでは$\cos(5\pi/3)=1/2$となります。

2. コサインはどの実数で $-1$ に相当しますか?

解像度確認2

$x=\pi+2k\pi$、$k\in\mathbb Z$付き。

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