弧度、弧长和三角循环

比较圆弧与其半径

如果半径为 $R>0$ 的圆内的弧长为 $s$，则其弧度测量值为：

$$\theta=\frac{s}{R}.$$

弧度是与半径一样长的圆弧的圆心角。由于圆的长度为 $2\pi R$，因此一圈的长度为 $2\pi$ 弧度。由此可见：

$$360°=2\pi\text{ rad},\qquad180°=\pi\text{ rad}.$$

转换为 $\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{graus}}\pi/180$ 和 $\theta_{\mathrm{graus}}=\theta_{\mathrm{rad}}180/\pi$。例如，$75°=5\pi/12$ rad。

$\alpha$ 度的弧占据了转弯的 $\alpha/360$ 部分。其长度为：

$$s=\frac{\alpha}{360}\,2\pi R=R\frac{\alpha\pi}{180}=R\theta.$$

表达式 $s=R\theta$ 要求 $\theta$ 为弧度。对于半径为 8 cm 且尺寸为 $\pi/3$、$s=8\pi/3$ cm 的圆弧。对于长度，我们使用覆盖的长度，它是非负的；定向角位移可以有符号。

三角循环是以原点为半径、圆心为 1 的圆。我们将实数 $x$ 与从 $(1,0)$ 旋转 $x$ 弧度后到达的点关联起来。逆时针方向为正方向；消极的，时间。

第一象限对应$0

当两个实数相差整数圈数时，它们具有完全相同的图像：

$$x\equiv y\pmod{2\pi}\iff x-y=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

因此，我们可以将$x=x_0+2k\pi$写成$0\le x_0<2\pi$。该表示将完成的转弯与最终位置分开。

对于 $x=-7\pi/6$，我们添加一圈：$-7\pi/6+2\pi=5\pi/6$。最终位置位于第二象限，尽管旋转是在负方向上进行的。

车轮。 在 72 km/h (20 m/s) 下，半径为 0,3 m 的车轮旋转 $\frac{20}{0{,}3} \approx 66{,}7$ rad/s，大约为每分钟 637 转 — 公式 $v = \omega r$ 仅对以弧度为单位的角度有效。
**田径跑道。**每条曲线都是半圆；半径为 36,5 米时，其尺寸约为 $\pi \cdot 36{,}5 \approx 115$ 米。
**编程。**编程语言和电子表格中的函数sin和cos接收弧度；忘记转换是最常见的错误之一。

以度和弧度表示的圆心角，以及相应的弧度：$\ell = r\theta$仅适用于弧度。

1。将 $225°$ 转换为弧度，将 $7\pi/6$ rad 转换为度数。

检查分辨率 1

$225\pi/180=5\pi/4$ 弧度； $(7\pi/6)180/\pi=210°$。

2。圆的半径为 3 厘米。 $120°$ 的弧长是多少？

检查分辨率 2

$120°=2\pi/3$ 弧度。然后 $s=3\cdot2\pi/3=2\pi$ 厘米。

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。