ラジアン、円弧の長さ、三角関数の周期

円弧とその半径を比較する

半径 $R>0$ の円の円弧の長さが $s$ である場合、ラジアン単位での測定は次のようになります。

$$\theta=\frac{s}{R}.$$

ラジアンは、半径と同じ長さの円弧を切る中心角です。円の長さは$2\pi R$なので、1回転は$2\pi$ラジアンになります。したがって、次のようになります。

$$360°=2\pi\text{ rad},\qquad180°=\pi\text{ rad}.$$

変換は$\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{graus}}\pi/180$と$\theta_{\mathrm{graus}}=\theta_{\mathrm{rad}}180/\pi$です。たとえば、$75°=5\pi/12$ rad です。

$\alpha$ 度の円弧は、ターンの部分 $\alpha/360$ を占めます。その長さは次のとおりです。

$$s=\frac{\alpha}{360}\,2\pi R=R\frac{\alpha\pi}{180}=R\theta.$$

$s=R\theta$ という式では、$\theta$ がラジアン単位である必要があります。半径 8 cm、測定値 $\pi/3$、$s=8\pi/3$ cm の円弧の場合。長さについては、カバーされている長さを使用します。これは負ではありません。方向のある角変位には符号を付けることができます。

三角関数の周期は、原点を中心とし半径1の円です。実数 $x$ を、$x$ ラジアンの回転後に $(1,0)$ から到達した点に関連付けます。正の方向は反時計回りです。否定的なもの、時間。

第 1 象限は $0

2 つの実数は、その差が整数のターン数である場合、まったく同じイメージになります。

$$x\equiv y\pmod{2\pi}\iff x-y=2k\pi,\qquad k\in\mathbb Z.$$

したがって、$x=x_0+2k\pi$ を $0\le x_0<2\pi$ と書くことができます。この表現は、完了したターンを最終位置から分離します。

$x=-7\pi/6$ の場合、1 ターン追加します: $-7\pi/6+2\pi=5\pi/6$。回転は負の方向に実行されましたが、最終位置は第 2 象限にあります。

自動車の車輪。 72 km/h (20 m/s) で、半径 0,3 m の車輪は $\frac{20}{0{,}3} \approx 66{,}7$ rad/s で、毎分約 637 回転します。式 $v = \omega r$ は、ラジアン単位の角度でのみ有効です。
陸上競技トラック。 各カーブは半円です。半径が 36,5 m の場合、約 $\pi \cdot 36{,}5 \approx 115$ m になります。
プログラミング。 プログラミング言語やスプレッドシートの関数 sin と cos はラジアンを受け取ります。変換を忘れることは、最もよくある間違いの 1 つです。

度およびラジアン単位の中心角、および対応する円弧: $\ell = r\theta$ はラジアンにのみ適用されます。

1. $225°$ をラジアンに変換し、$7\pi/6$ ラジアンを度に変換します。

解像度確認1

$225\pi/180=5\pi/4$ rad; $(7\pi/6)180/\pi=210°$。

2. 円の半径は 3 cm です。 $120°$の弧の長さはいくらですか?

解像度確認2

$120°=2\pi/3$ ラッド。次に$s=3\cdot2\pi/3=2\pi$cmです。

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