Euler's Eyes
2026-10-25
計算する前に読む：ボグダノフ＝ベリスキーの絵
1895 年、ロシアの画家ニコライ・ボグダノフ＝ベリスキーは『暗算。ラチンスキーの国民学校にて』という絵を発表した。村の教室で、はだしの農民の少年たちが黒板を見つめている。あごに手をあてている子もいれば、先生の耳もとでささやいている子もいる。黒板にはこう書かれている。
$$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}.$$
この先生は実在した。セルゲイ・ラチンスキーはモスクワ大学の植物学の教授だったが、その経歴を捨て、自分の生まれたタテヴォ村で農民の子どもたちを教えた。とても大きく見えるのに近道のある計算を出すのが好きだった。ボグダノフ＝ベリスキー自身も、かつて彼の生徒だった。
しなくてよい計算
読む順番に計算する人は、五つの数を二乗し、三けたの結果を足し、$365$ で割らなければならない。できるが、長い。先に見る人は、別のことに気づく。
$$10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365, \qquad 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365.$$分子は $365 + 365$ で、答えは $2$ である。分母の $365$ がヒントだった。分子がその大きさのかたまりに分かれるはずだと知らせていたのである。
二つの道のちがいは、計算の腕前にあるのではない。読み方にある。式には形がある。どんな計算をする前にも、それが分数であること、分子が五つの平方の和であること、数が連続していることが見てとれる。第2章は、どの式にも木が隠れていることを示した。よく読むとは、木に登る前に木を見ることである。
二つの顔をもつ記号
ラチンスキーの少年たちにとって、$13^2$ は指示（「13 に 13 をかけよ」）であると同時に、もの（ほかの数に足すことのできる数 $169$）でもある。数学教育学者のエディ・グレイとデイヴィッド・トールは 1994 年の論文で、この二重の役割をプロセプト（procept）、つまり過程（process）と概念（concept）を合わせたものと呼んだ。同じ記号 $3+4$ は「3 と 4 を足せ」とも、数 $7$ とも読める。$\frac{a}{b}$ は「割れ」とも、ほかの分数と比べられるひとつの分数とも読める。
グレイとトールによれば、先へ進む生徒と行きづまる生徒のちがいの多くは、ここにある。過程しか見えない人は、一歩ごとにすべてをやり直さなければならず、長い計算におぼれてしまう。記号を対象として扱える人は、それをしまっておき、比べ、組み合わせることができる。この本でいう生きた記法とは、まさにこの切りかえを可能にするものである。「十三かける十三」ではなく $13^2$ と書くことが、作業をひとつの対象に変えるのである。
前者で私が意味しているのは、私がいつも理解ということで意味してきたもの、すなわち、何をすべきかとなぜそうするのかの両方を知っていることである。道具的理解を、私はつい最近まで理解とはまったく見なしていなかった。それは、私がかつて「理由なき規則」と呼んだものである。
— リチャード・スケンプ「関係的理解と道具的理解」（1976）
1976 年、イギリスの心理学者リチャード・スケンプは、この二つの理解のしかたを区別した。道具的理解は、正しい規則を正しいときに当てはめ、問題がいつもどおりである限り、とてもよく働く。関係的理解は規則がどこから来たのかを知っており、だから黒板の $365$ のように、近道があるときに気づくのである。
練習：次の黒板
等式 $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$ には、左に四つ、右に三つの平方をもつ大きな姉妹がある。$21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2$ を確かめよ。
左辺は $441 + 484 + 529 + 576 = 2030$。右辺は $625 + 676 + 729 = 2030$。この家族は続いていく。$36^2+\cdots+40^2 = 41^2+\cdots+44^2$ は五つと四つの平方である。ラチンスキーのような先生なら、黒板に $\frac{21^2+22^2+23^2+24^2+25^2+26^2+27^2}{2030}$ と書けるだろう。答えはまた $2$ である。
練習：最後の演算はどれか
計算せずに、$3 + 4 \cdot 5^2$ と $(3+4) \cdot 5^2$ の主演算（最後に行う演算）を言え。それから両方を計算せよ。
一つめの最後の演算は足し算で、$3 + (4 \cdot 25) = 103$。二つめはかけ算で、$7 \cdot 25 = 175$。主演算を見分けることは、式の木の根を見分けることであり、何を簡単にできるかを知るための第一歩である。