1895 年，俄国画家尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基展出了一幅画，名为《心算。在拉钦斯基的民众学校里》。在一间乡村教室里，赤着脚的农家男孩们盯着黑板，有的手托着下巴，有一个正凑到老师耳边低声说话。黑板上写着：

$$\frac{10^2 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2}{365}.$$
尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基，《心算。在拉钦斯基的民众学校里》（1895）。莫斯科，特列季亚科夫画廊。
尼古拉·波格丹诺夫-别尔斯基，《心算。在拉钦斯基的民众学校里》（1895）。莫斯科，特列季亚科夫画廊。Nikolai Bogdanov-Belsky · 维基共享资源 · 公共领域

这位老师确有其人。谢尔盖·拉钦斯基原是莫斯科大学的植物学教授，他放弃了学术生涯，回到自己出生的塔捷沃村教农民的孩子。他喜欢出一些看起来很庞大、却有捷径可走的算式。波格丹诺夫-别尔斯基本人就曾是他的学生。

不必做的算术

按阅读顺序计算的人，得把五个数平方，把三位数的结果加起来，再除以 $365$。可以做，但很长。先看一眼的人会注意到别的东西：

$$10^2 + 11^2 + 12^2 = 100 + 121 + 144 = 365, \qquad 13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365.$$

分子是 $365 + 365$，答案是 $2$。分母上的 $365$ 就是线索：它提醒我们，分子应该能分成这么大的几块。

两条路的差别不在计算能力，而在阅读。一个式子有形状：在做任何计算之前，就能看出它是一个分数，分子是五个平方数之和，这些数是连续的。第2章说明了每个公式里都藏着一棵树；读得好，就是在爬树之前先看见树。

双面的符号

对拉钦斯基的学生来说，$13^2$ 既是一条指令（“把 13 乘以 13”），又是一样东西（数 $169$，可以和别的数相加）。数学教育家埃迪·格雷和戴维·托尔在 1994 年的一篇论文中，把这种双重角色称为程序概念（procept），即过程与概念的结合。同一个符号 $3+4$ 可以读成“把 3 和 4 相加”，也可以读成数 $7$；$\frac{a}{b}$ 可以读成“相除”，也可以读成一个可以和别的分数比较的分数。

按照格雷和托尔的说法，学得下去的学生和卡住的学生，差别很大程度上就在这里。只看到过程的人，每一步都得从头再做，淹没在冗长的计算里。能把符号当作对象的人，就能把它存起来、比较它、组合它。本书所说的能动的记号，正是允许这种转换的记号：写 $13^2$ 而不写“十三乘十三”，就把一项任务变成了一个对象。

我所说的前者，就是我一向所说的理解：既知道做什么，也知道为什么。工具性理解，直到最近我都不会把它看作理解。它就是我过去所说的“没有理由的规则”。

— 理查德·斯肯普《关系性理解与工具性理解》（1976）

1976 年，英国心理学家理查德·斯肯普区分了这两种理解方式。工具性理解在恰当的时候套用恰当的规则，只要问题还是老样子，它就很管用。关系性理解知道规则从哪里来，所以能察觉什么时候有捷径可走，比如黑板上的那个 $365$。

练习：下一块黑板

等式 $10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2$ 有一个更大的姐妹，左边四个平方，右边三个。验证 $21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2$。

左边：$441 + 484 + 529 + 576 = 2030$。右边：$625 + 676 + 729 = 2030$。这个家族还在继续：$36^2+\cdots+40^2 = 41^2+\cdots+44^2$，五个平方对四个平方。像拉钦斯基那样的老师可以在黑板上写 $\frac{21^2+22^2+23^2+24^2+25^2+26^2+27^2}{2030}$，答案又是 $2$。

练习：最后一步运算是什么？

不要计算，说出 $3 + 4 \cdot 5^2$ 和 $(3+4) \cdot 5^2$ 中的主运算（最后做的那一步）。然后把两个都算出来。

第一个式子的最后一步是加法：$3 + (4 \cdot 25) = 103$。第二个是乘法：$7 \cdot 25 = 175$。认出主运算，就是认出式子这棵树的树根，这是知道哪里可以化简的第一步。

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