要知道一颗行星如何吸引一个点，就得把它每一块的吸引力加起来。每一块都朝不同方向拉，而力的相加很费事：它们是向量，每个有三个分量。18 世纪的数学家发现了一条捷径，拉普拉斯把它变成了一件工具。

加数而不是加箭头

对于集中在一点的质量 $M$，考虑这个数

$$V = \frac{M}{r},$$

其中 $r$ 是到该质量的距离（我们略去常数 $G$）。这个后来被称为势的数包含了力的全部信息：吸引力在每个方向上的分量，就是 $V$ 在该方向上的导数。最大的好处是，对于多个质量，势像数一样直接相加。先把行星所有部分的势加起来，再求一次导数，就得到力。

方程

拉普拉斯注意到，在质量之外的任何一点，势都服从一个非常简单的方程：

$$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = 0.$$

今天我们写作 $\nabla^2 V = 0$，符号 $\nabla^2$ 称为拉普拉斯算子。拉普拉斯 1782 年在一篇关于行星形状的论文中以球坐标形式发表了这个方程，1787 年研究土星环时又给出了上面的直角坐标形式。

不妨对原点处的单个质量验证一下。设 $r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$，$V = \frac{1}{r}$：

$$\frac{\partial V}{\partial x} = -\frac{x}{r^3}, \qquad \frac{\partial^2 V}{\partial x^2} = -\frac{1}{r^3} + \frac{3x^2}{r^5}.$$

把三个方向相加：

$$\nabla^2 V = -\frac{3}{r^3} + \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = -\frac{3}{r^3} + \frac{3}{r^3} = 0.$$

由于方程是线性的，解的和仍是解：任何一组质量的势在质量之外都满足它。满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。

方程说了什么

这个方程有一个简单的解读。把平面分成点的网格。在离散形式下，$\nabla^2 V = 0$ 是说每一点的值等于四个相邻点的平均值：

$$V_{i,j} = \frac{V_{i+1,j} + V_{i-1,j} + V_{i,j+1} + V_{i,j-1}}{4}.$$

调和函数在内部没有峰也没有谷：如果某点比所有邻点都大，它就不可能是它们的平均。最大值和最小值总在边界上。这也提示了一种解方程的方法：固定边界上的值，中间随便猜，然后反复把每一点换成邻点的平均。网格会逐渐“松弛”到解。

下图中，一块正方形板的上边保持 100 度，另外三边为 0。每点击一次就做若干轮平均：

一个方程，处处可见

同一个方程出现在远离引力的地方。平衡状态下板的温度、真空中的电势、没有涡旋的流体流动、绷紧薄膜的形状，都服从 $\nabla^2 V = 0$。拉普拉斯算子还出现在热方程、波动方程和薛定谔方程中，也出现在图像处理里，用来检测边缘。

在质量内部，方程就变了。1813 年，拉普拉斯的学生西梅翁-德尼·泊松证明，在那里

$$\nabla^2 V = -4\pi G\rho,$$

其中 $\rho$ 是密度（采用上面所用的势的符号约定）。这就是泊松方程。

练习：哪些是调和函数？

检验下列平面函数中哪些满足 $\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0$：(a) $x^2 - y^2$；(b) $xy$；(c) $x^2 + y^2$。

(a) $2 + (-2) = 0$：是调和的。(b) 两个二阶导数都为零：是调和的。(c) $2 + 2 = 4 \neq 0$：不是。前两个分别是 $(x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ 的实部和虚部。这不是巧合：任何可导复函数的实部和虚部都是调和的。

练习：板的中心

在上图中，上边是 100，其他边是 0。为什么中心的温度恰好收敛到 25？

考虑四个问题：每个问题中有不同的一边为 100，其余三边为 0。把板旋转一下，这四个问题是一样的，因此它们在中心给出相同的值。把四个解相加，（由线性）得到四边都是 100 的解，也就是常数 100。所以每个问题中心的值是 $\frac{100}{4} = 25$。

来源： Pierre-Simon Laplace，“Théorie des attractions des sphéroïdes et de la figure des planètes”，Mémoires de l’Académie royale des sciences（1782，1785 年出版） · Pierre-Simon Laplace，“Mémoire sur la théorie de l’anneau de Saturne”，Mémoires de l’Académie royale des sciences（1787，1789 年出版） · Siméon-Denis Poisson，“Remarques sur une équation qui se présente dans la théorie des attractions des sphéroïdes”，Nouveau Bulletin de la Société philomatique 3（1813） · Oliver D. Kellogg，Foundations of Potential Theory（1929）。

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