行列式是为了解线性方程组而诞生的。1750 年，加布里埃尔·克莱姆发表了以他命名的法则，把每个未知数表示成由系数构成的两个式子之比。但当未知数很多时，还缺少一种有条理地计算这些式子的方法。1772 年，亚历山大-泰奥菲勒·范德蒙德和拉普拉斯几乎同时把这些式子当作独立的对象来研究。现代意义上的行列式一词直到 1812 年才由柯西确定下来，而我们今天使用的竖线记号则来自 1841 年的阿瑟·凯莱。

六项，三组

$3 \times 3$ 矩阵的行列式有六项：

$$\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = a_1b_2c_3 - a_1b_3c_2 - a_2b_1c_3 + a_2b_3c_1 + a_3b_1c_2 - a_3b_2c_1.$$

拉普拉斯的想法是按某一行（或某一列）的元素把这些项分组。把第一列的元素 $a_1$、$a_2$、$a_3$ 提出来：

$$= a_1(b_2c_3 - b_3c_2) - a_2(b_1c_3 - b_3c_1) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1).$$

每个括号都是一个 $2 \times 2$ 行列式：删去该元素所在的行和列后剩下的部分。这个较小的行列式称为该元素的余子式：

$$= a_1\begin{vmatrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} - a_2\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{vmatrix} + a_3\begin{vmatrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}.$$

符号的棋盘

符号按棋盘模式交替：第 $i$ 行第 $j$ 列的元素带符号 $(-1)^{i+j}$。

$$\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$$

余子式乘以这个符号，称为代数余子式。拉普拉斯展开说：任意大小矩阵的行列式，等于任意一行或一列的元素各乘以自己的代数余子式之和。拉普拉斯证明的定理还要更一般：可以一次选几行，用更大的子式来展开。

选好那一行

既然可以任选一行或一列，就值得选零最多的那一个。例如：

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} - 0 + 0 = 2(20 - 2) = 36.$$

按第一列展开，只剩下一项。

漂亮，但慢

对 $n \times n$ 矩阵，完全展开会产生 $n!$ 项。$n = 10$ 时有 $3\,628\,800$ 项；$n = 20$ 时约 $2.4 \times 10^{18}$ 项。所以对于大矩阵，没有人这样计算行列式：高斯消元法只需约 $\frac{n^3}{3}$ 次运算。拉普拉斯展开对于小矩阵、含很多零的矩阵，尤其是证明行列式的性质，依然非常宝贵。

练习：一个 4×4 行列式

计算

$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 4 & 2 \end{vmatrix}.$$

最后一列只有一个非零元素，即位置 (4, 4) 上的 2，符号为 $(-1)^{8} = +$。按这一列展开：

$$2\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}.$$

现在最后一行只有位置 (3, 3) 上的 1，符号为 $+$：$2 \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (1 - 0) = 2$。

练习：两行相同

用拉普拉斯展开证明：有两行相同的 $3 \times 3$ 行列式等于零。

设第 1 行和第 2 行相同，按剩下的第 3 行展开。每个代数余子式在不计符号时，都是由第 1、2 行构成的 $2 \times 2$ 行列式，而这两行相同：$\begin{vmatrix} p & q \\ p & q \end{vmatrix} = pq - qp = 0$。所有项都为零，行列式为零。用归纳法，同样的论证对任意大小都成立。

来源： Pierre-Simon Laplace，“Recherches sur le calcul intégral et sur le système du monde”，Mémoires de l’Académie royale des sciences（1772，1776 年出版） · Alexandre-Théophile Vandermonde，“Mémoire sur l’élimination”，Mémoires de l’Académie royale des sciences（1772） · Augustin-Louis Cauchy，“Mémoire sur les fonctions qui ne peuvent obtenir que deux valeurs égales et de signes contraires”，Journal de l’École polytechnique 10（1815） · Thomas Muir，The Theory of Determinants in the Historical Order of Development，第一卷（1906）。

拉普拉斯的全部主题 · ← 拉普拉斯方程 · 古典概率与高斯积分 →

图片来源.