1821 年的《分析教程》以九则注记收尾，这是一种附录，收录柯西不想放进正文的结果。第二则注记讨论不等式，里面有两颗每个奥数学生都熟悉的明珠。

不等式

柯西的定理说，对任意实数 $a_1, \ldots, a_n$ 和 $b_1, \ldots, b_n$，

$$(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2),$$

等号仅在两组数成比例时成立。

用拉格朗日恒等式证明

柯西从一个拉格朗日已经得到的恒等式出发。对两对数，只需展开：

$$(a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2) - (a_1 b_1 + a_2 b_2)^2 = a_1^2 b_2^2 + a_2^2 b_1^2 - 2a_1 b_1 a_2 b_2 = (a_1 b_2 - a_2 b_1)^2.$$

一般情形下，两边之差是所有 $i < j$ 的平方 $(a_i b_j - a_j b_i)^2$ 之和。平方和永远不会是负的，而且只有当所有 $a_i b_j - a_j b_i$ 都为零，也就是两组数成比例时，它才等于零。证毕。

还有另一个证明，出自赫尔曼·施瓦茨，1888 年。关于 $t$ 的多项式

$$p(t) = \sum_i (a_i t + b_i)^2 = \Big(\sum a_i^2\Big) t^2 + 2\Big(\sum a_i b_i\Big) t + \sum b_i^2$$

是平方和，永远不会是负的。所以它的判别式不可能为正：$4\left(\sum a_i b_i\right)^2 - 4 \sum a_i^2 \sum b_i^2 \le 0$，这正是那个不等式。

平均值：先向前，再向后

在同一则注记里，柯西证明了正数的几何平均永远不超过算术平均：

$$\sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}.$$

证明是一种双向的归纳法。对 $n = 2$，只需注意

$$\left(\frac{x + y}{2}\right)^2 - xy = \left(\frac{x - y}{2}\right)^2 \ge 0.$$

**向前：**如果对 $n$ 个数成立，那么对 $2n$ 个数也成立。把 $2n$ 个数分成两半；两半的乘积分别不超过 $A_1^n$ 和 $A_2^n$，其中 $A_1$、$A_2$ 是两半各自的平均。由 $n = 2$ 的情形，$A_1 A_2 \le \left(\frac{A_1 + A_2}{2}\right)^2$，而 $\frac{A_1 + A_2}{2}$ 正是全体的平均。于是不等式对 2、4、8、16、…… 都成立。

**向后：**如果对 $N$ 个数成立，那么对任何 $n < N$ 也成立。给定平均为 $A$ 的 $x_1, \ldots, x_n$，补上 $N - n$ 个 $A$ 本身。这 $N$ 个数的平均仍是 $A$，由 $N$ 个数的不等式得到

$$x_1 \cdots x_n \cdot A^{N-n} \le A^N, \quad\text{所以}\quad x_1 \cdots x_n \le A^n.$$

因为每个 $n$ 都小于某个 2 的幂，定理对所有 $n$ 成立。

练习：3x + 4y 的最大值

当 $x^2 + y^2 = 1$ 时，$3x + 4y$ 的最大值是多少？

由柯西不等式，$(3x + 4y)^2 \le (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2) = 25$，所以 $3x + 4y \le 5$。等号要求 $(x, y)$ 与 $(3, 4)$ 成比例：$x = \frac{3}{5}$，$y = \frac{4}{5}$，确实 $3 \cdot \frac{3}{5} + 4 \cdot \frac{4}{5} = \frac{25}{5} = 5$。

练习：不会小于 9 的乘积

证明对 $a, b, c > 0$，有 $(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right) \ge 9$。

对两组数 $(\sqrt{a}, \sqrt{b}, \sqrt{c})$ 和 $\left(\frac{1}{\sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{b}}, \frac{1}{\sqrt{c}}\right)$ 应用柯西不等式。左边变成 $(1 + 1 + 1)^2 = 9$，右边正是 $(a + b + c)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$。当 $a = b = c$ 时等号成立。

来源： Augustin-Louis Cauchy，Cours d’analyse（1821），注 II · J. Michael Steele，The Cauchy–Schwarz Master Class（2004） · Viktor Bunyakovsky，“Sur quelques inégalités concernant les intégrales ordinaires et les intégrales aux différences finies”，Mémoires de l’Académie de Saint-Pétersbourg（1859）。

柯西的全部主题 · ← 级数的收敛 · 导数与积分 →

图片来源.