《分析教程》出版两年后，柯西发表了《皇家综合理工学院无穷小计算教程概要》（1823）。他用四十节简短的课，以极限概念重建了微分学和积分学。这在本质上就是今天微积分教科书依然遵循的提纲。

导数

对拉格朗日来说，$f$ 的导数是 $f(x + i)$ 的幂级数中 $i$ 的系数。柯西把它定义为一个极限：

$$f'(x) = \lim_{i \to 0} \frac{f(x + i) - f(x)}{i}.$$

对 $f(x) = x^2$：$\frac{(x + i)^2 - x^2}{i} = \frac{2xi + i^2}{i} = 2x + i$，它趋于 $2x$。不需要假定 $i$ 是“无穷小”，也不需要扔掉任何东西：对 $i \neq 0$ 算出商，再看它趋向何处。

积分

在那以前，积分主要是求原函数：积分是导数的逆运算。柯西把顺序颠倒过来，直接定义积分。设 $f$ 在 $[x_0, X]$ 上连续，用点 $x_0 < x_1 < \cdots < x_n = X$ 分割区间，作和

$$S = (x_1 - x_0) f(x_0) + (x_2 - x_1) f(x_1) + \cdots + (X - x_{n-1}) f(x_{n-1}).$$

柯西证明，当所有小段都变小时，$S$ 趋近于一个与分割方式无关的极限。这个极限就是积分 $\int_{x_0}^{X} f(x)\,dx$。三十年后，黎曼把这个定义推广到不连续函数，允许在每一小段中任意取点。

基本定理

积分被独立地定义之后，它与导数的联系就成了一个定理，而不再是定义。设 $F(x) = \int_{x_0}^{x} f(t)\,dt$。那么

$$F(x + \alpha) - F(x) = \int_x^{x+\alpha} f(t)\,dt = \alpha\, f(x + \theta\alpha), \quad 0 \le \theta \le 1,$$

因为连续函数在一个区间上的积分，等于区间长度乘以函数的某个中间值。两边除以 $\alpha$，令 $\alpha \to 0$，由连续性得 $F'(x) = f(x)$。积分与求导互为逆运算，而现在我们知道为什么了。

柯西中值定理

拉格朗日中值定理说，在 $a$ 与 $b$ 之间有一点 $c$，使 $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$。柯西证明了一个含两个函数的版本：

$$\big(f(b) - f(a)\big)\, g'(c) = \big(g(b) - g(a)\big)\, f'(c).$$

现代的证明很短。函数 $h(x) = \big(f(b) - f(a)\big) g(x) - \big(g(b) - g(a)\big) f(x)$ 在 $a$ 和 $b$ 处取相同的值（验证一下：两者都等于 $f(b)g(a) - g(b)f(a)$）。因此它的导数在两者之间某点 $c$ 处为零，这就是那个公式。

它的重大应用是洛必达法则。如果 $f(a) = g(a) = 0$，在 $a$ 与 $x$ 之间应用这个公式，得到

$$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)},$$

其中 $c$ 在 $a$ 与 $x$ 之间。当 $x \to a$ 时，也有 $c \to a$：$\frac{f}{g}$ 的极限就是 $\frac{f'}{g'}$ 的极限。约翰·伯努利在 1694 年教给洛必达侯爵的这条法则，在 130 年后终于有了证明。

练习：柯西的那个点

对 $f(x) = x^3$、$g(x) = x^2$ 在区间 $[0, 1]$ 上，求柯西中值定理中的点 $c$。

$f(1) - f(0) = 1$，$g(1) - g(0) = 1$，所以公式成为 $1 \cdot g'(c) = 1 \cdot f'(c)$，即 $2c = 3c^2$。除去区间端点 $c = 0$，解为 $c = \frac{2}{3}$，它确实在 0 与 1 之间。

练习：用三次导数求的极限

计算 $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$。

分子和分母都趋于零。根据柯西所论证的法则，极限等于 $\frac{\cos x - 1}{3x^2}$ 的极限，它仍是 $\frac{0}{0}$ 型；再用一次，得 $\frac{-\sin x}{6x}$；再用一次，$\frac{-\cos x}{6} \to -\frac{1}{6}$。用 $x = 0.1$ 验证：$\frac{0.0998334 - 0.1}{0.001} \approx -0.1666$。

来源： Augustin-Louis Cauchy，Résumé des leçons données à l’École royale polytechnique sur le calcul infinitésimal（1823） · Augustin-Louis Cauchy，Leçons sur le calcul différentiel（1829） · Judith V. Grabiner，The Origins of Cauchy’s Rigorous Calculus（1981）。

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