所有圆的周长与直径之比都相同，这在阿基米德之前就已为人所知。不确定的是这个比值，也就是我们今天所说的 $\pi$，到底是多少：巴比伦人有时用 $3\frac{1}{8}$，埃及人用的数接近 $3.16$。在短篇著作《圆的度量》中，阿基米德做了两件事：把圆的面积与周长联系起来，并说明怎样把 $\pi$ 算到任意想要的精度。

圆的面积

第一个命题说，圆的面积等于一个直角三角形的面积，这个三角形的两条直角边分别是半径 $r$ 和周长 $C$：

$$A = \frac{1}{2}\,r\,C.$$

思路是把圆切成很薄的扇形，像切比萨一样，注意到每一片几乎都是一个高为 $r$ 的三角形。阿基米德用穷竭法给出了严格的证明：他证明这个面积既不能大于也不能小于那个三角形的面积。由于 $C = 2\pi r$，公式就变成了熟悉的 $A = \pi r^2$。

夹在两个多边形之间

为了估计 $\pi$，阿基米德在圆内作内接正多边形，在圆外作外切正多边形。里面多边形的周长小于圆周，外面多边形的周长大于圆周。除以直径，$\pi$ 就被夹在两个可以计算的数之间。

他从正六边形开始。内接正六边形的周长是 $6r$，即 $3$ 个直径；外切正六边形的周长是 $4\sqrt{3}\,r \approx 6.93\,r$。然后他把边数加倍：12、24、48，最后是 96。每一步，他都利用 $n$ 边形与 $2n$ 边形之间的一个几何关系。

最终结果是

$$3 + \frac{10}{71} < \pi < 3 + \frac{1}{7}, \qquad \text{即} \qquad 3.1408 < \pi < 3.1429.$$

上界 $\frac{22}{7}$ 变得非常有名，至今仍是学校里常用的 $\pi$ 的近似值。

没有计算器的计算

最令人惊叹的是算术部分。阿基米德没有小数，也没有方便的分数记号，却需要很多位的平方根。一开始他就用了

$$\frac{265}{153} < \sqrt{3} < \frac{1351}{780},$$

这是极好的近似（$1.73203 < \sqrt{3} < 1.73205$），而他没有解释是怎么得到的。在四次加倍的过程中，他总是往安全的一边取整：里面的多边形往小取，外面的多边形往大取，让不等式始终成立。

练习：六边形与正方形

证明半径为 $r$ 的圆的内接正六边形周长为 $6r$，外切正方形周长为 $8r$。它们给出 $\pi$ 的什么界限？

内接正六边形可以分成 6 个边长为 $r$ 的等边三角形，所以每条边长 $r$，周长 $6r$。外切正方形的边长等于直径 $2r$，周长 $8r$。由于 $6r < 2\pi r < 8r$，得到 $3 < \pi < 4$。这是方法的起点，边数更多的多边形会把区间收窄。

练习：平均值有多好？

计算阿基米德两个界限 $3\frac{10}{71}$ 和 $3\frac{1}{7}$ 的平均值，并与 $\pi \approx 3.14159$ 比较。

$3\frac{10}{71} \approx 3.140845$，$3\frac{1}{7} \approx 3.142857$。平均值 $\approx 3.141851$，与 $\pi$ 相差约 $0.0003$。相对误差是万分之一：对古代的任何建造都已足够。

来源： 阿基米德，《圆的度量》，命题 1–3 · Thomas L. Heath，The Works of Archimedes（1897） · Petr Beckmann，A History of π（1971） · Jonathan M. Borwein，“The Life of Pi: From Archimedes to ENIAC and Beyond”（2014）。

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