Geometria

A vida de John Nash

Linha do tempo 1928Nasce em 13 de junho, em Bluefield, na Virgínia Ocidental, nos Estados Unidos. 1945Entra no Carnegie Institute of Technology, em Pittsburgh, para estudar engenharia química. Muda para a matemática. 1948Chega a Princeton. Inventa o jogo que os colegas chamam de “Nash”, hoje conhecido como Hex. 1950Defende a tese “Jogos não cooperativos”, com o equilíbrio de Nash. Publica “O problema da barganha”. 1951Torna-se professor no MIT. 1956Publica o teorema da imersão isométrica. 1957Casa-se com Alicia Lardé, estudante de física do MIT. 1958Publica o resultado sobre a regularidade das equações parabólicas. 1959Primeira internação psiquiátrica. Começam três décadas de doença. 1994Recebe o Nobel de Economia, com John Harsanyi e Reinhard Selten. 2001Casa-se de novo com Alicia. Estreia o filme Uma Mente Brilhante. 2015Recebe o Prêmio Abel, com Louis Nirenberg. Morre num acidente de carro em 23 de maio, com Alicia. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1928–1945 BluefieldCresce numa cidade de ferrovias e carvão. Lê Men of Mathematics e prova sozinho o pequeno teorema de Fermat. 1945–1948 PittsburghNo Carnegie Institute of Technology, troca a engenharia química pela matemática e tem a ideia da barganha. 1948–1951 PrincetonInventa o Hex e defende a tese de 28 páginas com o equilíbrio de Nash. 1951–1959 MITProfessor no MIT. Prova o teorema da imersão e o resultado sobre equações parabólicas. Em 1959 começa a doença. 1970–2015 PrincetonVaga pelos corredores como “o fantasma de Fine Hall” e, no fim dos anos 1980, se recupera. 1994 EstocolmoRecebe o Nobel de Economia, com John Harsanyi e Reinhard Selten. 2015 OsloRecebe o Prêmio Abel, com Louis Nirenberg. Na volta, em 23 de maio, morre com Alicia num acidente de táxi em Nova Jersey. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Os lugares de John Nash, de Bluefield a Princeton, e as viagens para receber o Nobel e o Abel. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

Euclides de Alexandria: o autor sem rosto

Linha do tempo c. 530 a.C.Pitágoras e os seus seguidores estudam números e figuras no sul da Itália. c. 387 a.C.Platão funda a Academia em Atenas. Na porta, segundo a tradição: “Não entre quem não souber geometria”. 331 a.C.Alexandre, o Grande, funda Alexandria, no delta do Nilo. c. 300 a.C.Euclides ensina em Alexandria, no tempo do rei Ptolomeu I, e escreve os Elementos. c. 250 a.C.Arquimedes, em Siracusa, cita os Elementos. c. 100 d.C.Um papiro encontrado em Oxirrinco, no Egito, guarda um trecho do Livro II. c. 370Teão de Alexandria prepara a edição que será copiada pelos séculos seguintes. c. 450Proclo escreve o seu comentário ao Livro I, com as poucas notícias sobre Euclides. c. 800Os Elementos são traduzidos para o árabe em Bagdá. c. 1120Adelardo de Bath traduz o texto árabe para o latim. 1482Primeira edição impressa, em Veneza, por Erhard Ratdolt. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ c. 387 a.C. AtenasPlatão funda a Academia. A geometria que Euclides vai organizar nasce nas escolas gregas. c. 300 a.C. AlexandriaEuclides ensina no tempo de Ptolomeu I e escreve os treze livros dos Elementos. c. 250 a.C. SiracusaArquimedes já cita os Elementos nas suas obras. c. 100 OxirrincoUm papiro encontrado no lixo da cidade guarda um trecho do Livro II, com uma figura. c. 370 AlexandriaTeão de Alexandria prepara a edição que será copiada durante mil anos. c. 450 AtenasProclo escreve o comentário ao Livro I, com as poucas notícias que temos sobre Euclides. c. 800 BagdáNa Casa da Sabedoria, os Elementos são traduzidos para o árabe. c. 1120 BathAdelardo de Bath traduz o texto árabe para o latim, e o livro volta à Europa. 1482 VenezaErhard Ratdolt imprime a primeira edição, com as figuras nas margens. Seguiram-se mais de mil edições. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. A viagem dos Elementos, de Atenas e Alexandria até a primeira edição impressa, em Veneza. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 14, 2026 Iniciar leitura

A vida de Blaise Pascal

Linha do tempo 1623Nasce em 19 de junho, em Clermont, na região de Auvergne, na França. 1626Morre a mãe, Antoinette Begon. Blaise tem 3 anos. 1631O pai, Étienne Pascal, muda-se com os três filhos para Paris. 1635Aos 12 anos, redescobre sozinho que os ângulos de um triângulo somam dois ângulos retos. 1640Aos 16, publica o Ensaio sobre as cônicas, com o teorema do hexágono. 1642Começa a construir a máquina de calcular para ajudar o pai, coletor de impostos em Rouen. 1647Publica as Novas experiências sobre o vazio. Recebe a visita de Descartes. 1648Florin Périer, seu cunhado, mede o peso do ar subindo o Puy de Dôme. 1654Troca cartas com Fermat sobre jogos de azar e escreve o Tratado do triângulo aritmético. Em 23 de novembro, tem a “noite de fogo”. 1656Começa a publicar as Cartas provinciais, sob pseudônimo. 1658Resolve os problemas da cicloide e lança um concurso sobre eles. 1662Inaugura em Paris uma linha de carruagens públicas. Morre em 19 de agosto, aos 39 anos. 1670Os amigos publicam os Pensamentos, organizados a partir das suas anotações. ◀ Anterior Percorrer a viagem Próxima ▶ 1623–1631 ClermontNasce em Clermont, na Auvergne. A mãe morre quando ele tem 3 anos. 1631–1639 ParisO pai o educa em casa e o leva às reuniões de Mersenne. Aos 16 anos escreve o Ensaio sobre as cônicas. 1640–1647 RouenO pai é coletor de impostos na Normandia. Para ajudá-lo, Blaise constrói a pascalina e faz as experiências com o vazio. 1648 Puy de DômeA pedido de Pascal, o cunhado Florin Périer sobe a montanha com um barômetro e mostra que o ar pesa menos lá em cima. 1647–1662 ParisAs cartas a Fermat sobre os jogos de azar, a noite de fogo, as Provinciais, a cicloide e as carruagens públicas. Morre em 1662, aos 39 anos. 1655 Port-Royal-des-ChampsDepois da noite de fogo, passa temporadas no mosteiro onde vive a irmã Jacqueline e defende Port-Royal contra os jesuítas. Ative o JavaScript para ver o mapa. As etapas estão na lista abaixo. Pascal entre Clermont, Paris e Rouen, e a montanha que pesou o ar. Mapa: © colaboradores do OpenStreetMap

October 11, 2026 Iniciar leitura

O jogo de Hex: por que o primeiro jogador ganha

Em 1948, na sala comum do prédio de matemática de Princeton, onde professores e alunos jogavam xadrez e Go durante a tarde, John Nash apresentou um jogo novo. O tabuleiro é um losango coberto de casas hexagonais, como um favo de mel. Dois jogadores, vermelho e azul, colocam peças alternadamente, uma por vez, em casas vazias. As peças nunca se movem. O vermelho quer formar uma corrente de peças vermelhas ligando a borda de cima à de baixo; o azul, uma corrente azul ligando a esquerda à direita.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os Elementos: definições, postulados e noções comuns

Ponto é aquilo que não tem partes. Linha é comprimento sem largura. — Euclides, Elementos, Livro I, Definições 1 e 2 Imagine que você quer convencer alguém, sem nenhuma possibilidade de dúvida, de que a soma dos ângulos de um triângulo é sempre 180°. Medir não basta: o transferidor erra, e você só pode medir alguns triângulos. Você precisa de um argumento. Mas todo argumento parte de alguma coisa. De onde partir? Se cada afirmação precisa ser justificada por outra, e essa por outra, a cadeia nunca termina.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O triângulo de Pascal: somar para construir

Escreva um $1$. Embaixo, dois $1$. A partir daí, cada linha começa e termina com $1$, e cada número do meio é a soma dos dois que estão logo acima: $$\begin{array}{ccccccccccc} &&&&&1&&&&&\\ &&&&1&&1&&&&\\ &&&1&&2&&1&&&\\ &&1&&3&&3&&1&&\\ &1&&4&&6&&4&&1&\\ 1&&5&&10&&10&&5&&1 \end{array}$$É só isso. Uma regra que uma criança aprende em um minuto produz uma das tabelas mais ricas da matemática. Hoje ela se chama triângulo de Pascal, mas Pascal foi um dos últimos a encontrá-la.

October 11, 2026 Iniciar leitura

A primeira proposição: o triângulo equilátero

Sobre uma reta limitada dada, construir um triângulo equilátero. — Euclides, Elementos, Proposição I.1 Depois das definições, dos postulados e das noções comuns, os Elementos começam com um problema pequeno e bonito. Você tem um segmento $AB$. Quer construir, só com régua e compasso, um triângulo cujos três lados sejam iguais a $AB$. É a primeira das 465 proposições do livro, e mostra em poucas linhas como todas as outras vão funcionar.

October 14, 2026 Iniciar leitura

O equilíbrio de Nash: ninguém melhora sozinho

Um ponto de equilíbrio é uma n-upla tal que a estratégia mista de cada jogador maximiza o seu ganho se as estratégias dos outros forem mantidas fixas. — John Nash, Proceedings of the National Academy of Sciences (1950) Em 1944, John von Neumann e o economista Oskar Morgenstern publicaram Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico, um livro enorme que transformava em matemática as decisões estratégicas: jogos de cartas, guerras, mercados. O grande resultado de von Neumann valia para jogos de soma zero entre dois jogadores, em que o que um ganha o outro perde, como o xadrez ou o pôquer. Mas a maior parte da vida não é assim: num acordo comercial, numa negociação ou no trânsito, os dois lados podem ganhar juntos, ou perder juntos.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Combinações: contar sem listar

Na Mega-Sena, você escolhe 6 números entre 60. Quantos jogos diferentes existem? Listar todos levaria uma vida: são mais de cinquenta milhões. Mas dá para contar sem listar, e Pascal mostrou como. Escolher sem ordem Comece com um caso pequeno: de quantas maneiras se pode escolher 2 pessoas num grupo de 5 para uma comissão? Se a ordem importasse, haveria $5$ opções para a primeira pessoa e $4$ para a segunda: $5\cdot4=20$. Mas numa comissão “Ana e Bruno” é o mesmo que “Bruno e Ana”, e cada par foi contado duas vezes. São $20/2=10$ comissões.

October 11, 2026 Iniciar leitura

Estratégias mistas: o pênalti e o par ou ímpar

Todo jogo finito tem um ponto de equilíbrio. — John Nash, Non-Cooperative Games, tese de doutorado (1950) Alguns jogos não têm equilíbrio nenhum se cada jogador escolher uma jogada fixa. O mais simples é o par ou ímpar. Ana escolhe “par”, Bruno escolhe “ímpar”, e cada um mostra um ou dois dedos. Se a soma for par, Ana ganha um ponto; se for ímpar, ganha Bruno. Reduzindo cada escolha a “um” ou “dois” dedos, os ganhos são:

October 14, 2026 Iniciar leitura

O teorema de Pitágoras à moda de Euclides

Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que subtende o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto. — Euclides, Elementos, Proposição I.47 Muito antes dos gregos, os agrimensores do Egito, que remarcavam os campos depois de cada cheia do Nilo, eram chamados de esticadores de corda. Conta-se que usavam uma corda com 12 nós igualmente espaçados: esticada num triângulo de lados 3, 4 e 5, ela dava um ângulo reto. Os babilônios conheciam muito mais: uma tabuleta de barro de cerca de 1800 a.C., a Plimpton 322, traz uma lista de triângulos retângulos com lados inteiros, alguns enormes, como 3 367, 3 456 e 4 825.

October 14, 2026 Iniciar leitura

Os dados do Cavaleiro de Méré e a partilha justa

Antoine Gombaud, que se apresentava como Cavaleiro de Méré, era um escritor da corte francesa e um jogador apaixonado. Por volta de 1654, levou a Pascal duas perguntas sobre apostas. Pascal achou as perguntas tão boas que escreveu a Pierre de Fermat, e daquelas cartas nasceu a teoria das probabilidades. Sobre o amigo, Pascal comentou com Fermat: Ele tem muito bom espírito, mas não é geômetra; e isso, como o senhor sabe, é um grande defeito. — Blaise Pascal, carta a Fermat (29 de julho de 1654)

October 11, 2026 Iniciar leitura