Relações métricas 506 Determine o valor de $x$ nos casos: Ver respostaa) 5 · b) 12 · c) $\sqrt{7}$ · d) $3\sqrt{3}$ 507 Determine $x$ em função de $a$ nos casos: Ver respostaa) $a\sqrt{3}$ · b) $\dfrac{a}{2}$ 508 Determine $x$ nos casos: Ver respostaa) 12 · b) 24 · c) 20 · d) 8
A diagonal do quadrado, a altura do triângulo equilátero e as razões trigonométricas de 30°, 45° e 60° saem todas do mesmo teorema. Quem descobriu A diagonal do quadrado já foi calculada pelos babilônios: a tábua YBC 7289 (c. 1800–1600 a.C.) dá $\sqrt{2}$ com seis casas decimais corretas. As razões entre os lados de um triângulo retângulo começaram como tabelas astronômicas: Hiparco de Niceia (século II a.C.) montou uma tabela de cordas, o indiano Aryabhata (499) passou a usar a meia-corda — o nosso seno — e astrônomos islâmicos como Abu al-Wafa (século X) organizaram tabelas de sombras, as nossas tangentes. A fórmula que gera todos os triângulos pitagóricos, com lados $x^2 - y^2$, $2xy$ e $x^2 + y^2$, aparece num lema do livro X dos Elementos de Euclides.
O quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos. Mas essa é só uma de várias relações que a altura revela dentro do triângulo retângulo. Quem descobriu A relação entre os lados do triângulo retângulo é muito mais antiga que Pitágoras de Samos (século VI a.C.). Tábuas da Babilônia de cerca de 1800 a.C. usam ternos como 3, 4, 5 e calculam a diagonal do quadrado; os Sulba Sutras da Índia (c. 800–500 a.C.) enunciam a regra para construir altares; e o texto chinês Zhoubi Suanjing traz uma prova visual. A tradição grega associou o teorema a Pitágoras, mas não há prova documental de que ele o tenha demonstrado. A demonstração mais antiga que chegou até nós está nos Elementos de Euclides (c. 300 a.C.): a proposição I.47 prova o teorema por áreas, e a I.48 prova a recíproca. As relações com a altura — cada cateto e a altura como médias proporcionais — estão na proposição VI.8 e no seu corolário.