Euler's Eyes
2026-10-24
第 IX 章の演習 — 直角三角形
常に図を描きます。直角、データ、未知の部分に印を付けます。次に、未知とデータが一緒に表示される直角三角形を選択します。
メトリックの関係
図に示す要素$a$、$h$、$m$、$n$（カテゴリ$b = 4$、$c = 3$）を計算します。
解像度を参照してください
$c = 3$ と $b = 4$ である場合:
$$a^2 = b^2 + c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow a = 5$$$$h = \frac{bc}{a} = \frac{4 \cdot 3}{5} = \frac{12}{5}$$$$m = \frac{c^2}{a} = \frac{9}{5}$$$$n = \frac{b^2}{a} = \frac{16}{5}.$$図の要素 $x$、$y$、$z$、$t$ を計算します。脚の寸法は 12 と 5、$t$ は斜辺、$x$ は斜辺に対する高さ、$y$ と $z$ は脚の投影 5 および斜辺の12。
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$x = \dfrac{60}{13}$, $y = \dfrac{25}{13}$, $z = \dfrac{144}{13}$, $t = 13$
図形の要素を含む 6 計量関係を記述します。脚 $\alpha$ と $\beta$ および斜辺 $\gamma$ を持ち、斜辺に対する高さ $\varphi$ を持つ直角三角形は、投影 $\delta$ ($\alpha$ から) と $\varepsilon$ ($\beta$ から) に分割されます。
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例: $\alpha^2 = \gamma\delta$、$\beta^2 = \gamma\varepsilon$、$\varphi^2 = \delta\varepsilon$、$\alpha^2 + \beta^2 = \gamma^2$、$\alpha\beta = \gamma\varphi$、$\alpha^2 = \delta^2 + \varphi^2$
斜辺への脚の投影がそれぞれ4と9となる直角三角形の面積を計算します。
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$39$
外周 56 と斜辺に対する高さ $\dfrac{168}{25}$ の直角三角形の斜辺を計算します。
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$25$
二等辺三角形 $ABC$ は底辺 $a = 12$ を持ち、直径 $2R = 20$ の円に内接します。三角形の辺 $b$ と $c$ の寸法を計算します。
解像度を参照してください
頂点$A$と中心$O$を結ぶと、円を$D$で切る直線が得られます。$\overline{AD}$は直径です。 $AD$は$\overline{BC}$の垂直二等分線なので、$AD \perp BC$と$BM = MC = 6$があります。三角形$ADC$は$C$では長方形(半円に内接する)で、$\overline{CM}$はその高さです。 $AM = y$ および $MD = 20 - y$ の場合:
$$6^2 = y(20 - y) \Longrightarrow y^2 - 20y + 36 = 0 \Longrightarrow y = 2 \;\text{ ou }\; y = 18.$$次に$b^2 = 6^2 + y^2$、つまり$b^2 = 40$または$b^2 = 360$です。可能な三角形は 2 つあります: $b = c = 2\sqrt{10}$ ($A$ と中心 $O$ が底辺の反対側にある場合、$y = 2$) または $b = c = 6\sqrt{10}$ (これらが同じ側にある場合、$y = 18$)。
外接円の半径$R$と底辺$a$から二等辺三角形の高さを計算します。データ：$R = 5$および$a = 8$。
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$h = 8$ または $h = 2$
二等辺三角形 の底面 6 に外接する円の半径を計算し、その他の辺の長さは $\sqrt{90}$ とします。
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$5$
点$P$は半径$R = 5$の円の中心$O$から$d = 13$の距離にあります。 $P$ を通って点 $T$ の円への接線を引くと、線分 $\overline{PT}$ の長さはいくらになりますか?
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$PT = 12$
半径$R$の円に内接する正八角形の辺を計算します。
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$\ell_8 = R\sqrt{2 - \sqrt{2}}$
三角比
足が$b = 9$と$c = 12$である直角三角形の内角を計算します。
解像度を参照してください
答え: $\hat{A} = 90^\circ$、$\hat{B} = \operatorname{arc\,tg}\frac{3}{4}$ ($36^\circ 52'$ について)、および $\hat{C} = \operatorname{arc\,tg}\frac{4}{3}$ ($53^\circ 8'$ について)。
斜辺に対する高さが$h = 4$、鋭角が$\hat{B} = 30^\circ$であるとして、直角三角形の辺を計算します。
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$a = \dfrac{16\sqrt{3}}{3}$, $b = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$, $c = 8$
斜辺に対する高さが 4 であり、辺 $b$ と角度 $15^\circ$ を形成することがわかっている直角三角形の辺を計算します。
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$a = 16$, $b = \dfrac{16}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$, $c = \dfrac{16}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$
直角三角形 $ABC$ が半径 3 の円に内接し、$\hat{B} = 2\hat{C}$ などの鋭角を持っていることを知って、直角三角形の脚を計算します。
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$b = 3\sqrt{3}$ e $c = 3$
脚の 1 つに対する中央値が 15 であることがわかっているので、斜辺 20 を持つ直角三角形の鋭角を計算します。
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$\operatorname{arc\,tg}\sqrt{\dfrac{5}{7}}$ e $\operatorname{arc\,tg}\sqrt{\dfrac{7}{5}}$
(FFCLUSP-66) 図では、角$O\hat{A}_iB_i$と$O\hat{B}_{i+1}A_i$($i = 0, 1, 2, 3, \ldots$)は直角です。セグメント $\overline{A_0B_0}$、$\overline{A_1B_1}$、$\overline{A_2B_2}$、…の合計は、$\overline{A_0B_0}$ と $\theta$ でいくらになりますか?
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三角形 $A_0B_1B_0$、長方形 $B_1$、角度 $B_0$ は $90^\circ - \theta$ を測定します。ロゴ$A_0B_1 = A_0B_0\cos\theta$。同様に三角形は$A_0A_1B_1$、長方形は$A_1$、$A_1B_1 = A_0B_1\cos\theta = A_0B_0\cos^2\theta$となります。各垂直セグメントは、前のセグメントに $\cos^2\theta$ を乗算したものです。合計は比率 $\cos^2\theta < 1$ の無限等比数列です。
$$A_0B_0\,(1 + \cos^2\theta + \cos^4\theta + \cdots) = \frac{A_0B_0}{1 - \cos^2\theta} = \frac{A_0B_0}{\operatorname{sen}^2\theta} = A_0B_0\operatorname{cossec}^2\theta.$$解答を見る
$A_0B_0 \cdot \operatorname{cossec}^2\theta$
辺が$\dfrac{3}{4}$の比率にある長方形の対角線と最小辺とがなす角度を計算します。
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$\operatorname{arc\,tg}\dfrac{4}{3}$
$a = 8$を底とする二等辺三角形$ABC$の面積を計算します。$\hat{A} = 45^\circ$がわかります。
解像度を参照してください
高さ $\overline{AM}$ をプロットすると、三角形は $\hat{A}' = \hat{A}'' = 22^\circ 30'$ と $BM = MC = 4$ の 2 つの合同な部分に分割されます。それから
$$\operatorname{tg} 22^\circ 30' = \frac{MC}{AM} \Longrightarrow AM = \frac{4}{\operatorname{tg} 22^\circ 30'} = \frac{4\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}},$$$\operatorname{tg} 22^\circ 30' = \sqrt{\frac{1 - \cos 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}$(円弧半分)を使用します。エリアは
$$S = \frac{BC \cdot AM}{2} = \frac{16\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = 16(\sqrt{2} + 1),$$なぜなら$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{4 - 2}} = \sqrt{2} + 1$だからです。
底面に隣接する角度が $\operatorname{arc\,cos}\dfrac{2}{7}$ に等しいことがわかっているので、周囲が $2p = 36$ の 二等辺三角形 の底面を基準とした高さを計算します。
解像度を参照してください
$a$ を底辺とし、$b$ の各辺を等しいものとします。高さは底辺を半分に分けた$\frac{a}{2} = b\cos\hat{B} = \frac{2b}{7}$つまり$a = \frac{4b}{7}$となります。周囲から$\frac{4b}{7} + 2b = 36$、$b = 14$、$a = 8$となります。次に$h = \sqrt{14^2 - 4^2} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$。
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$h = 6\sqrt{5}$ (辺の寸法は 14、14、および 8)。印刷されたテンプレートには、データと互換性のない値 $2\sqrt{37}$ が表示されます。
二等辺三角形の底辺$a = 8$に外接する円の半径と底辺の対角$\hat{A} = 120^\circ$を計算します。
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$R = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$
直線は、半径 10 の円上で、長さ 16 の弦を決定します。ロープが見える中心角の測定値は何ですか?
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$2\operatorname{arc\,sen}\dfrac{4}{5}$
関係 $\dfrac{1}{c} + \dfrac{2}{b} = \dfrac{\sqrt{5}}{h}$ が検証されることを認識して、$A$ 内の直角三角形 $ABC$ の角度 $\hat{B}$ を決定します。ここで、$h$ は斜辺に対する高さです。
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$\hat{B} = \operatorname{arc\,tg}\dfrac{1}{2} \approx 26^\circ 34'$
$A$に直角な三角形$ABC$において、中線$\overline{BM}$と$\overline{CN}$がなす鋭角は$\theta = 30^\circ$であることが分かります。角度$\hat{C}$を計算します。
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$\hat{C} = \dfrac{1}{2}\operatorname{arc\,sen}\dfrac{4}{3\sqrt{3}}$ (または、$B$ と $C$ の役割を交換できるため、その角度の補数)
$A$の直角三角形$ABC$には内部の角の二等分線$\overline{BB'}$ $\overline{CC'}$が描かれています。 $AB' = 1$ と $AC' = 1$ がわかっているので、角度 $\hat{B}$ と斜辺 $a$ を計算します。
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$\hat{B} = 2\operatorname{arc\,tg}(\sqrt{2} - 1) = 45^\circ$ と $a = 2 + \sqrt{2}$。印刷されたテンプレートには $a = 2\sqrt{2}$ が表示されます。ただし、$\hat{B} = 45^\circ$、$c = \frac{1}{\operatorname{tg} 22^\circ 30'} = \sqrt{2} + 1$、および $a = c\sqrt{2} = 2 + \sqrt{2}$ は使用できません。
内接円の半径が$r = 2$ mであることを知って、斜辺$a = 13$ mの直角三角形の鋭角を計算します。
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$\operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}$ e $\operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}$
観察者は、平地に建てられた建物を $60^\circ$ の角度で見ます。建物から30m離れて$45^\circ$の角度から見ることができます。建物の高さはどれくらいですか?
解像度を参照してください
三角形 $BXY$ 内: $\operatorname{tg} 60^\circ = \dfrac{h}{\ell} \Rightarrow \ell = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$。三角形 $AXY$ 内: $\operatorname{tg} 45^\circ = \dfrac{h}{\ell + 30} \Rightarrow h = \ell + 30$。それから
$$h = \frac{h}{\sqrt{3}} + 30 \Longrightarrow h = \frac{30\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = 15\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) = 45 + 15\sqrt{3} \approx 71 \text{ m}.$$(MAUÁ-68) 垂直塔 $\overline{DE}$ の高さを測定するには、その基部 $D$ を通る水平面内で、長さ 12 m、中点が $C$ の線分 $\overline{AB}$ を取得します。角度$D\hat{A}E$、$D\hat{B}E$、$D\hat{C}E$が測定され、$D\hat{A}E = D\hat{B}E = 45^\circ$と$D\hat{C}E = 60^\circ$であることが確認されます。塔の高さを決めます。
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$h = 3\sqrt{6}$ m
高層ビルの 2 つの窓の窓枠の間の距離を計算します。地面上の点 $O$ から窓を観察する角度 $\alpha$ と $\beta$ ($\alpha < \beta$) と、その点から建物までの距離 $d$ がわかります。
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$h = d(\operatorname{tg}\beta - \operatorname{tg}\alpha)$
(MAUÁ-65) 煙突 $\overline{CD}$ の高さ $H$ を取得するために、技術者は特別な装置を使用して水平 $\overline{AB}$ (煙突内の $B$) を確立し、角度 $\alpha = B\hat{A}C$ (下方向、基部 $C$ まで) と $\beta = B\hat{A}D$ (上方向、上部まで) を測定しました。 $D$)、次の測定値 $BC = h$ を持ちます。煙突の高さを決めます。
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$H = h\left(\dfrac{\operatorname{tg}\beta}{\operatorname{tg}\alpha} + 1\right)$
(MAUÁ-67) 観測者は高速道路上で、山頂のテレビ塔を含む同じ垂直面に位置する水平の直線セクションにいます。このセクションの互いに 60 m 離れた 2 つの位置 $A$ と $B$ から、観察者はそれぞれ $30^\circ$ と $31^\circ 53'$ の角度で塔の上端を見ます。角度を測定する装置は、海抜 721,50 m の線路上 1,50 m に設置されました。海面に対するタワーの端の高さを決定します。データ: $\operatorname{tg} 31^\circ 53' \approx 0{,}62$。
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$x$ を $B$ からタワーまでの水平距離、$t$ をデバイス上の頂上の高さとします。次に$t = 0{,}62\,x$と$t = (x + 60)\operatorname{tg} 30^\circ$。 $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}5774$の場合:
$$0{,}62x = 0{,}5774x + 34{,}64 \Longrightarrow x \approx 812 \text{ m} \Longrightarrow t \approx 504 \text{ m}.$$海抜は$721{,}50 + 1{,}50 + 504 \approx 1227$メートルです。
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約 $1227$ m (印刷されたテンプレートは $1233$ m になります。$0{,}62 - \operatorname{tg} 30^\circ$ の差が小さいため、結果は $\operatorname{tg} 30^\circ$ の丸めの影響を非常に受けます)
(LINS-66) 図では、$A$、$C$、$B$ が $AC = CB = 60$ m の床に並んでいます。 $\overline{AM} = x$ と $\overline{BN} = y$ は垂直方向です。 $N\hat{A}B = 2\alpha$、$M\hat{B}A = \alpha$、$M\hat{C}N = 90^\circ$。距離$x$と$y$を計算します。
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三角形 $MAC$ と $CBN$ は似ています (角度 $M\hat{C}A$ と $C\hat{N}B$ は、両方とも $N\hat{C}B$ から $90^\circ$ を完成するので等しい): $\frac{x}{60} = \frac{60}{y}$、つまり $xy = 3600$。また、$\operatorname{tg}\alpha = \frac{x}{120}$と$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{y}{120}$。ダブルアーク式により、
$$\frac{y}{120} = \frac{2 \cdot \frac{x}{120}}{1 - \frac{x^2}{14\,400}} \Longrightarrow \frac{3600}{x} = \frac{28\,800x}{14\,400 - x^2} \Longrightarrow 14\,400 - x^2 = 8x^2 \Longrightarrow x = 40,$$e $y = \frac{3600}{40} = 90$.
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$x = 40$ m e $y = 90$ m
直角三角形を解く
内部の寸法 角の二等分線 $S_b = 5$ と角度 $\hat{C} = 30^\circ$ を知って直角三角形 $ABC$ を解きます。
解像度を参照してください
$\hat{B} = 60^\circ$と$\frac{\hat{B}}{2} = 30^\circ$は即時です。直角三角形 $ABS$ ($S$ は $\overline{AC}$ の上の 角の二等分線 の足です):
$$c = 5\cos 30^\circ = \frac{5\sqrt{3}}{2}.$$次に$a = \dfrac{c}{\cos\hat{B}} = \dfrac{5\sqrt{3}/2}{1/2} = 5\sqrt{3}$と$b = a\operatorname{sen}\hat{B} = 5\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{15}{2}$。
$b = 3$ と $a - c = \sqrt{3}$ が与えられた直角三角形 $ABC$ を解きます。
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$\hat{B} = 60^\circ$, $\hat{C} = 30^\circ$, $a = 2\sqrt{3}$ e $c = \sqrt{3}$
$a + b = 18$と$a + c = 25$を知って、$A$の直角三角形$ABC$を解きます。
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$a = 13$, $b = 5$, $c = 12$, $\hat{B} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}$, $\hat{C} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}$
$a = 4$ と、$\overline{BE}$ 内の 角の二等分線 の測度が $S_b = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}$ であることを知って、直角三角形 $ABC$ を解きます。
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$\hat{B} = 30^\circ$, $\hat{C} = 60^\circ$, $b = 2$, $c = 2\sqrt{3}$
斜辺と周囲長 $2p = 2\sqrt{2} + 2$ に対する高さ $h = 1$ を知って直角三角形を解きます。
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$a = 2$, $b = c = \sqrt{2}$, $\hat{B} = \hat{C} = \dfrac{\pi}{4}$
底辺 $\overline{BC}$ に対する高さが $h = 24$ であり、周囲が $2p = 64$ であることを知って、二等辺三角形 $ABC$ を解きます。
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$a = 14$, $b = c = 25$, $\hat{A} = 2\operatorname{arc\,sen}\dfrac{7}{25}$, $\hat{B} = \hat{C} = \operatorname{arc\,cos}\dfrac{7}{25}$
内接円の半径$r = 2$と斜辺に対する高さ$h = \dfrac{60}{13}$を知って直角三角形$ABC$を解きます。
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$a = 13$, $b = 12$, $c = 5$, $\hat{B} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{12}{13}$, $\hat{C} = \operatorname{arc\,sen}\dfrac{5}{13}$
斜辺に対する高さ$h = 2$と直角に位置する内接円の半径$r' = 2\sqrt{2} + 2$を知って、直角三角形$ABC$を解きます。
解答を見る
$a = 4$, $b = c = 2\sqrt{2}$, $\hat{B} = \hat{C} = \dfrac{\pi}{4}$