到目前为止，我们已经求解了 $\mathbb{R}$ 中的方程，获得了无穷个解族。然而，通常情况下，只有 范围 内的解才有意义，例如，位于 $0$ 和 $\pi$ 之间的三角形的角度。某些方程出现得太多，以至于它们有自己的方法：它们是经典方程。

故事

方程 $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$ 是同一周期的两次振荡之和的方程：它出现在天文学（两个圆周运动的组合）、波动物理学和电力（异相交流电）中。将 $a\operatorname{sen} x + b\cos x$ 重写为单个位移正弦曲线（辅助角 $\theta$）的技巧已被 18 世纪的天文学家使用。它在 19 世纪末获得了工业上的重要性，当时工程师 Charles Steinmetz 在 1893 中表明，交流电可以作为复数相加：每个正弦波变成一个具有长度（振幅）和斜率（相位）的箭头，而添加振荡就成为添加箭头。这正是我们在编写 $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(x + \theta)$ 时所做的。

Steinmetz 相量：$a\operatorname{sen}x + b\cos x$ 是旋转箭头的高度，该箭头的长度为 $\sqrt{a^2 + b^2}$。

来源： Charles Proteus Steinmetz (ETHW) · 三角函数 — 历史 (MacTutor)。

在日常生活中

  • 弹簧和减震器。 连接到弹簧的质量，从初始位置和速度释放，以 $a\operatorname{sen}\omega t + b\cos\omega t = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(\omega t + \theta)$ 振荡：辅助角度给出运动的幅度。
  • 来自两个扬声器的声音。 两个扬声器具有相同的音符，但相位不同，加起来形成一个波；振幅取决于相移，并且在房间的某些部分声音几乎消失。
  • **只有有意义的答案。**在物理问题中，发射角位于 $0^\circ$ 和 $90^\circ$ 之间：方程的无限解中，我们只剩下区间内的解。
弹簧上的质量：$a\operatorname{sen}t + b\cos t$ 是振幅为 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 的单个正弦曲线。

理论

一系列解决方案

Resumo路线图

  1. 求解 $\mathbb{R}$ 中的方程，获得 $k \in \mathbb{Z}$ 函数的解族。
  2. 分配$k$整数值并保留落在要求范围内的解（或求解$k$中的不等式）。

Exemplosin 2x = 1/2 in [0, 2π]

$2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$或$2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$，即$x = \frac{\pi}{12} + k\pi$或$x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$。

  • $k = 0$：$x = \frac{\pi}{12}$或$x = \frac{5\pi}{12}$；
  • $k = 1$：$x = \frac{13\pi}{12}$或$x = \frac{17\pi}{12}$；
  • $k = -1$ 或 $k = 2$：解超出范围。

$S = \left\{\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}\right\}$.

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方程 a sin x + b cos x = c

令方程为 $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$，其中 $a$、$b$、$c$ 为非零实数。共有三种经典方法；让我们将它们应用到同一个方程，$\operatorname{sen} x + \cos x = 1$。

**第一种方法——系统。**通过执行$\operatorname{sen} x = u$和$\cos x = v$，我们解决了系统

$$a u + b v = c, \qquad u^2 + v^2 = 1.$$

示例中：$u + v = 1$和$u^2 + v^2 = 1$；对第一个 $1 + 2uv = 1$、$uv = 0$ 进行平方。因此，$(u, v) = (0, 1)$ 给出 $x = 2k\pi$，或者 $(u, v) = (1, 0)$ 给出 $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$。

**第二种方法——辅助角。**除以$a$并得到$\frac{b}{a} = \operatorname{tg}\theta$：

$$\operatorname{sen} x + \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\cos x = \frac{c}{a} \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen} x\cos\theta + \operatorname{sen}\theta\cos x = \frac{c}{a}\cos\theta \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}(x + \theta) = \frac{c}{a}\cos\theta,$$

这是一个基本方程。在示例中，$\operatorname{tg}\theta = 1$、$\theta = \frac{\pi}{4}$ 和 $\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$：$x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ 或 $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ — 相同的解决方案。

第三种方法 — 半反正切。 对于 $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$、$\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1 + t^2}$ 和 $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$（第六章）：

$$a \cdot \frac{2t}{1 + t^2} + b \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = c \;\Longrightarrow\; (c + b)t^2 - 2at + (c - b) = 0.$$

本例中，$2t^2 - 2t = 0$：$t = 0$、$\frac{x}{2} = k\pi$、$x = 2k\pi$；或 $t = 1$、$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi$、$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$。

Atenção解决方案可能会丢失

替换$t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$仅在$\frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$即$x \ne \pi + 2k\pi$时有效。因此，需要单独检查$x = \pi + 2k\pi$是否是原方程的解：这种情况发生在$-b = c$时，然后$c + b$的系数抵消，$t$中的方程的次数下降。在示例 $\operatorname{sen}\pi + \cos\pi = -1 \ne 1$ 中，没有丢失任何内容。

Propriedade当有解决方案时

通过第二种方法，$a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\operatorname{sen}(x + \theta)$在$-\sqrt{a^2 + b^2}$和$\sqrt{a^2 + b^2}$之间变化。因此，当且仅当 $c^2 \le a^2 + b^2$ 时，方程才有解。

正弦和余弦之和为零

$\operatorname{sen} p \pm \operatorname{sen} q = 0$、$\cos p \pm \cos q = 0$ 或这些项的较大总和形式的方程可以将总和转换为乘积并消除每个因子来求解。

Exemplo余弦 x + 余弦 2x + 余弦 3x = 0

将第一项和第三项分组：$\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x\cos x$。然后

$$2\cos 2x\cos x + \cos 2x = 0 \;\Longrightarrow\; \cos 2x\,(2\cos x + 1) = 0.$$
  • $\cos 2x = 0$: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$;
  • $\cos x = -\frac{1}{2}$: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

sin⁴x + cos⁴x 和 sin⁶x + cos⁶x 的方程

Teorema两个有用的身份

$$\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\operatorname{sen}^2 2x$$$$\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = 1 - \frac{3}{4}\operatorname{sen}^2 2x$$
查看演示

对于 $s = \operatorname{sen}^2 x$、$c = \cos^2 x$、$s + c = 1$ 和 $sc = \operatorname{sen}^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\operatorname{sen}^2 2x$：

$$s^2 + c^2 = (s + c)^2 - 2sc = 1 - \frac{1}{2}\operatorname{sen}^2 2x,$$$$s^3 + c^3 = (s + c)^3 - 3sc(s + c) = 1 - \frac{3}{4}\operatorname{sen}^2 2x.$$

Propriedade讨论

  • $\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = a \iff \operatorname{sen}^2 2x = 2(1 - a)$。与 $0 \le \operatorname{sen}^2 2x \le 1$ 一样，当且仅当 $\frac{1}{2} \le a \le 1$ 时才有解。使用 $\operatorname{sen}^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$，方程变为 $\cos 4x = 4a - 3$。
  • $\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = a \iff \operatorname{sen}^2 2x = \frac{4(1 - a)}{3}$。当且仅当 $\frac{1}{4} \le a \le 1$ 时才有解，且方程变为 $\cos 4x = \frac{8a - 5}{3}$。
$\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x$（红色）在$\frac{1}{2}$和$1$之间振荡； $\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x$（蓝色），位于 $\frac{1}{4}$ 和 $1$ 之间。

本节中的练习是[章节列表]中的编号215到245（/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap07-equacoes/04-exercicios/).