これまでのところ、$\mathbb{R}$ の方程式を解き、無限の解の族を取得しました。ただし、 多くの場合、範囲内の解のみが対象となります。たとえば、$0$ と $\pi$ の間にある三角形の角度などです。そして、特定の方程式は独自の手法が存在するほど頻繁に登場し、 それは古典方程式です。

歴史

$a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$ 方程式は、 同じ周期の2 つの振動の和の方程式で、天文学（2 つの円運動の組み合わせ）、波動物理学、電気（位相のずれた交流）に現れます。 $a\operatorname{sen} x + b\cos x$ を単一の変位正弦波、補助角 $\theta$ として書き換えるトリックは、18 世紀の天文学者によってすでに使用されていました。技術者チャールズ スタインメッツが 1893 で交流を複素数として加算できることを示した 19 世紀末に産業上の重要性を獲得しました。各正弦波は長さ (振幅) と傾き (位相) を持つ矢印になり、振動の加算は矢印の加算になります。これはまさに $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(x + \theta)$ を書くときに行うことです。

シュタインメッツ フェーザー: $a\operatorname{sen}x + b\cos x$ は回転する矢印の高さであり、この矢印の長さは $\sqrt{a^2 + b^2}$ です。

出典: Charles Proteus Steinmetz (ETHW) · 三角関数 — 歴史 (MacTutor)。

日常生活での応用

  • スプリングとショックアブソーバー。 スプリングに取り付けられた質量は、初期位置と速度から解放され、$a\operatorname{sen}\omega t + b\cos\omega t = \sqrt{a^2 + b^2}\,\operatorname{sen}(\omega t + \theta)$ のように振動します。補助角度が動きの振幅を与えます。
  • 2 つのスピーカーからの音。 同じ音を位相をずらして持つ 2 つのスピーカーを合計すると 1 つの波になります。振幅は位相シフトに依存し、部屋の特定の部分では音がほとんど消えます。
  • 意味のある答えのみ 物理的な問題では、打ち出し角は $0^\circ$ と $90^\circ$ の間にあります。方程式の無限の解のうち、その範囲内にあるものだけが残ります。
ばね上の質量: $a\operatorname{sen}t + b\cos t$ は振幅 $\sqrt{a^2 + b^2}$ の単一正弦波です。

理論

さまざまなソリューション

まとめロードマップ

  1. $\mathbb{R}$ の方程式を解き、$k \in \mathbb{Z}$ の関数で解の族を取得します。
  2. $k$ の整数値を割り当て、要求された範囲に収まる解を保持します (または $k$ の不等式を解きます)。

例sin 2x = 1/2 in [0, 2π]

$2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ または $2x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$、つまり $x = \frac{\pi}{12} + k\pi$ または $x = \frac{5\pi}{12} + k\pi$。

  • $k = 0$: $x = \frac{\pi}{12}$ または $x = \frac{5\pi}{12}$;
  • $k = 1$: $x = \frac{13\pi}{12}$ または $x = \frac{17\pi}{12}$;
  • $k = -1$ または $k = 2$: 解が範囲外です。

$S = \left\{\frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{13\pi}{12}, \frac{17\pi}{12}\right\}$.

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方程式 a sin x + b cos x = c

方程式を $a\operatorname{sen} x + b\cos x = c$ とし、$a$、$b$、$c$ をゼロ以外の実数とします。古典的な方法は 3 つあります。それらを同じ方程式 $\operatorname{sen} x + \cos x = 1$ に適用してみましょう。

1 番目の方法 — システム。 $\operatorname{sen} x = u$ と $\cos x = v$ を行うことで、システムを解きます。

$$a u + b v = c, \qquad u^2 + v^2 = 1.$$

例: $u + v = 1$ と $u^2 + v^2 = 1$;最初の $1 + 2uv = 1$、$uv = 0$ を 2 乗します。したがって、$(u, v) = (0, 1)$ は $x = 2k\pi$ を、$(u, v) = (1, 0)$ は $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ を与えます。

2 番目の方法 — 補助角。 $a$ で割って $\frac{b}{a} = \operatorname{tg}\theta$ を作成します。

$$\operatorname{sen} x + \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}\cos x = \frac{c}{a} \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen} x\cos\theta + \operatorname{sen}\theta\cos x = \frac{c}{a}\cos\theta \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}(x + \theta) = \frac{c}{a}\cos\theta,$$

これは基本的な方程式です。この例では、$\operatorname{tg}\theta = 1$、$\theta = \frac{\pi}{4}$、および $\operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$: $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$ または $x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi$ - 同じソリューションです。

3 番目の方法 — 半逆正接。 $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$、$\operatorname{sen} x = \frac{2t}{1 + t^2}$、および $\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ を使用する (第 VI 章):

$$a \cdot \frac{2t}{1 + t^2} + b \cdot \frac{1 - t^2}{1 + t^2} = c \;\Longrightarrow\; (c + b)t^2 - 2at + (c - b) = 0.$$

例では、$2t^2 - 2t = 0$: $t = 0$、$\frac{x}{2} = k\pi$、$x = 2k\pi$;または$t = 1$、$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi$、$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$。

注意解決策が失われる可能性がある

置換 $t = \operatorname{tg}\frac{x}{2}$ は、$\frac{x}{2} \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$、つまり $x \ne \pi + 2k\pi$ の場合にのみ有効です。したがって、$x = \pi + 2k\pi$ が元の方程式の解であるかどうかを個別に確認する必要があります。これは、$-b = c$ の場合に発生し、係数 $c + b$ が相殺され、$t$ の方程式の次数が低下します。例では $\operatorname{sen}\pi + \cos\pi = -1 \ne 1$ ですが、何も失われませんでした。

性質解決策があるとき

2 番目の方法では $a\operatorname{sen} x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\operatorname{sen}(x + \theta)$ となり、$-\sqrt{a^2 + b^2}$ と $\sqrt{a^2 + b^2}$ の間で変化します。したがって、この方程式には $c^2 \le a^2 + b^2$ の場合にのみ解が存在します。

サインとコサインの合計がゼロに等しい

$\operatorname{sen} p \pm \operatorname{sen} q = 0$、$\cos p \pm \cos q = 0$、またはこれらの項のそれ以上の合計の形式の方程式は、 合計を積に変換し、各因子をキャンセルして解きます。

例cos x + cos 2x + cos 3x = 0

第 1 項と第 3 項をグループ化: $\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x\cos x$。それから

$$2\cos 2x\cos x + \cos 2x = 0 \;\Longrightarrow\; \cos 2x\,(2\cos x + 1) = 0.$$
  • $\cos 2x = 0$: $2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$;
  • $\cos x = -\frac{1}{2}$: $x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi$.

sin⁴x + cos⁴x および sin⁶x + cos⁶x の方程式

定理2 つの便利なアイデンティティ

$$\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\operatorname{sen}^2 2x$$$$\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = 1 - \frac{3}{4}\operatorname{sen}^2 2x$$
デモを見る

$s = \operatorname{sen}^2 x$、$c = \cos^2 x$、$s + c = 1$、および $sc = \operatorname{sen}^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\operatorname{sen}^2 2x$ の場合:

$$s^2 + c^2 = (s + c)^2 - 2sc = 1 - \frac{1}{2}\operatorname{sen}^2 2x,$$$$s^3 + c^3 = (s + c)^3 - 3sc(s + c) = 1 - \frac{3}{4}\operatorname{sen}^2 2x.$$

性質議論

  • $\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x = a \iff \operatorname{sen}^2 2x = 2(1 - a)$。 $0 \le \operatorname{sen}^2 2x \le 1$ と同様、$\frac{1}{2} \le a \le 1$ の場合にのみ解決策があります。 $\operatorname{sen}^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$を使用すると、式は$\cos 4x = 4a - 3$になります。
  • $\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x = a \iff \operatorname{sen}^2 2x = \frac{4(1 - a)}{3}$。 $\frac{1}{4} \le a \le 1$ の場合にのみ解があり、方程式は $\cos 4x = \frac{8a - 5}{3}$ になります。
$\operatorname{sen}^4 x + \cos^4 x$ (赤) は $\frac{1}{2}$ と $1$ の間で変動します。 $\operatorname{sen}^6 x + \cos^6 x$(青)、$\frac{1}{4}$と$1$の間。

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