Euler's Eyes
2026-10-23
加算式
任意の 2 つの実数 $a$ と $b$ の和 $(a + b)$ と差 $(a - b)$ の三角関数 ($a$ と $b$ の円関数として知られています) を計算する式を導いてみましょう。
歴史
アルマゲストでプトレマイオスは、内接四角形において対角線の積は対辺の積の和に等しいことを証明しました――プトレマイオスの定理です。これを直径と等しい辺を持つ四角形に適用すると、プトレマイオスが 2 分の 1 度表を作成するために使用した 2 つの円弧の和と差の弦の公式が正確に得られます。この公式は正弦の形で、第 II 章ですでに登場したペルシャの天文学者アブ・アル・ ワファ (10 世紀) とともに登場します。私たちが行うデモンストレーションは、2 点間の距離に基づいており、デカルトの解析幾何学を使用しており、はるかに最近のものです。
36°、60°、72°、90°、120°"] の文字列 --> B[" 差分文字列
72° − 60° = 12°"] B --> C["半文字列
6°、3°、11/2°、¾°"] C --> D["不等式
1°"] の文字列 D --> E["半分
1/2°弦"] E --> F["1/2°の1/2°の合計
ボード全体を最大 180°"]
出典: プトレマイオス (MacTutor) · アブ アルワファ (MacTutor)。
日常生活での応用
- 画像を回転します。 点 $(x, y)$ を角度 $\theta$ だけ回転させるために、画像プログラムは $(x\cos\theta - y\operatorname{sen}\theta,\; x\operatorname{sen}\theta + y\cos\theta)$ (座標で記述された加算式) を計算します。
- 携帯電話で回転する地図 体を回転させると、地図アプリケーションはすでに画面に表示されている方向にコンパスの回転を追加します (円弧の合計)。
- 正確な値。 方位 $30^\circ$ の後に $45^\circ$ を回転すると、方向 $75^\circ$、および $\operatorname{sen} 75^\circ = \operatorname{sen}(30^\circ + 45^\circ) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}966$ が得られます。
理論
和の余弦
$P$、$Q$、および $R$ を、それぞれ番号 $a$、$a + b$、および $-b$ に関連付けられたサイクル ポイントとします。システム $uOv$ に関して、これらの点の座標は次のようになります。
$$P(\cos a, \operatorname{sen} a) \qquad Q(\cos(a + b), \operatorname{sen}(a + b)) \qquad R(\cos b, -\operatorname{sen} b).$$定理和の余弦
$$\cos(a + b) = \cos a \cdot \cos b - \operatorname{sen} a \cdot \operatorname{sen} b$$デモを見る
円弧 $\overset{\frown}{AQ}$ と $\overset{\frown}{RP}$ は同じ寸法 ($a + b$) です。したがって、文字列 $\overline{AQ}$ と $\overline{PR}$ は同じです。 $A(1, 0)$ を使用して、解析ジオメトリの 2 点間の距離の公式を適用します。
$$d_{AQ}^2 = [\cos(a + b) - 1]^2 + [\operatorname{sen}(a + b) - 0]^2 = \cos^2(a + b) - 2\cos(a + b) + 1 + \operatorname{sen}^2(a + b) = 2 - 2\cos(a + b)$$$$d_{RP}^2 = [\cos a - \cos b]^2 + [\operatorname{sen} a + \operatorname{sen} b]^2 = \cos^2 a - 2\cos a\cos b + \cos^2 b + \operatorname{sen}^2 a + 2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b + \operatorname{sen}^2 b$$$$= 2 - 2\cos a\cos b + 2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b.$$$d_{AQ} = d_{RP}$ から $2 - 2\cos(a + b) = 2 - 2\cos a\cos b + 2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b$ が得られ、これが式です。
差の余弦
定理差の余弦
$$\cos(a - b) = \cos a \cdot \cos b + \operatorname{sen} a \cdot \operatorname{sen} b$$デモを見る
前の式とパリティ ($\cos(-b) = \cos b$、$\operatorname{sen}(-b) = -\operatorname{sen} b$) を使用すると、次のようになります。
$$\cos(a - b) = \cos[a + (-b)] = \cos a\cos(-b) - \operatorname{sen} a\operatorname{sen}(-b) = \cos a\cos b - \operatorname{sen} a(-\operatorname{sen} b).$$和と差の正弦
定理和の正弦と差の正弦
$$\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a \cdot \cos b + \operatorname{sen} b \cdot \cos a$$$$\operatorname{sen}(a - b) = \operatorname{sen} a \cdot \cos b - \operatorname{sen} b \cdot \cos a$$デモを見る
補完的な円弧 $\operatorname{sen} x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ を使用します。
$$\operatorname{sen}(a + b) = \cos\left[\frac{\pi}{2} - (a + b)\right] = \cos\left[\left(\frac{\pi}{2} - a\right) - b\right] = \cos\left(\frac{\pi}{2} - a\right)\cos b + \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - a\right)\operatorname{sen} b,$$つまり$\operatorname{sen}(a + b) = \operatorname{sen} a\cos b + \cos a\operatorname{sen} b$です。違いとしては:
$$\operatorname{sen}(a - b) = \operatorname{sen}[a + (-b)] = \operatorname{sen} a\cos(-b) + \operatorname{sen}(-b)\cos a = \operatorname{sen} a\cos b + (-\operatorname{sen} b)\cos a.$$和と差の正接
定理和と差の正接
$$\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b} \qquad \left(a, b, a + b \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$$$$\operatorname{tg}(a - b) = \frac{\operatorname{tg} a - \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a \cdot \operatorname{tg} b} \qquad \left(a, b, a - b \ne \frac{\pi}{2} + k\pi\right)$$デモを見る
分子と分母を $\cos a\cos b$ で割ります (条件に従って null ではありません):
$$\operatorname{tg}(a + b) = \frac{\frac{\operatorname{sen} a\cos b}{\cos a\cos b} + \frac{\operatorname{sen} b\cos a}{\cos a\cos b}}{\frac{\cos a\cos b}{\cos a\cos b} - \frac{\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b}{\cos a\cos b}} = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg} b}{1 - \operatorname{tg} a\operatorname{tg} b}.$$違いについては、接線が奇数であるため、次のようになります。
$$\operatorname{tg}(a - b) = \operatorname{tg}[a + (-b)] = \frac{\operatorname{tg} a + \operatorname{tg}(-b)}{1 - \operatorname{tg} a\operatorname{tg}(-b)} = \frac{\operatorname{tg} a - \operatorname{tg} b}{1 + \operatorname{tg} a\operatorname{tg} b}.$$和と差の余接
定理和と差の余接
$$\operatorname{cotg}(a + b) = \frac{\operatorname{cotg} a \cdot \operatorname{cotg} b - 1}{\operatorname{cotg} a + \operatorname{cotg} b} \qquad (a, b, a + b \ne k\pi)$$$$\operatorname{cotg}(a - b) = \frac{\operatorname{cotg} a \cdot \operatorname{cotg} b + 1}{\operatorname{cotg} b - \operatorname{cotg} a} \qquad (a, b, a - b \ne k\pi)$$デモを見る
分子と分母を $\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b$ で割る:
$$\operatorname{cotg}(a + b) = \frac{\frac{\cos a\cos b}{\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b} - 1}{\frac{\cos b}{\operatorname{sen} b} + \frac{\cos a}{\operatorname{sen} a}} = \frac{\operatorname{cotg} a\operatorname{cotg} b - 1}{\operatorname{cotg} a + \operatorname{cotg} b}.$$そして、$\operatorname{cotg}(-b) = -\operatorname{cotg} b$ の場合:
$$\operatorname{cotg}(a - b) = \frac{\operatorname{cotg} a(-\operatorname{cotg} b) - 1}{\operatorname{cotg} a + (-\operatorname{cotg} b)} = \frac{\operatorname{cotg} a\operatorname{cotg} b + 1}{\operatorname{cotg} b - \operatorname{cotg} a}.$$例正確な価値を持つ目立たない弓
$$\cos 15^\circ = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}.$$演習 126 と比較してください。そこでは $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$ が得られました。 $\left(\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{8 + 2\sqrt{12}}{16} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$なので、2つの値は同じです。
暗記する
ブラジルの学生は、足し算の公式を保存するためのフレーズを発明しました。最もよく知られているのは次の 2 つです。
まとめ2つの文
- 「私の土地にはヤシの木があり、ツグミが歌います。サイン $a$ コサイン $b$、サイン $b$ コサイン $a$」
- 「かゆみ $a$、引っ掻き $b$、サイン $a$、サイン $b$ と知らないうちに符号が変わります。」
違いは、両方の式の中央の記号が変更されている点です。
暗記するよりも、 既知の値で確認する方が効果的です。 $a = 60^\circ$ と $b = 30^\circ$ の場合、合計は $90^\circ$、そのサインは $1$、コサインは $0$ になります。
$$\operatorname{sen} 90^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1, \qquad \cos 90^\circ = \frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2} = 0.$$フレーズが変更された場合、アカウントは閉鎖されません。
このセクションの演習は、章リスト.