Vamos deduzir fórmulas para calcular as funções trigonométricas da soma $(a + b)$ e da diferença $(a - b)$ de dois números reais quaisquer $a$ e $b$, conhecidas as funções circulares de $a$ e de $b$. A história No Almagesto, Ptolomeu provou que, num quadrilátero inscrito, o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos — o teorema de Ptolomeu. Aplicado a um quadrilátero com um lado igual ao diâmetro, ele dá exatamente as fórmulas da corda da soma e da diferença de dois arcos, que Ptolomeu usou para montar a sua tábua de meio em meio grau. Na forma de senos, as fórmulas aparecem com o astrônomo persa Abu al-Wafa (século X), que já conhecemos no capítulo II. A demonstração que faremos — pela distância entre dois pontos — usa a geometria analítica de Descartes e é bem mais recente.