让我们推导计算$x$的三角函数的公式，其中$x$在第一象限之外，将$x$与第一象限中的某个数字相关联。目标是从给出 $0$ 和 $\frac{\pi}{2}$ 之间实数循环函数的表中了解 $\operatorname{sen} x$、$\cos x$ 和 $\operatorname{tg} x$。

将 $P$ 拖过所有象限。第一象限的点$P'$是$P$的对称点；比较面板上的正弦和余弦值。

故事

三角函数表总是仅覆盖圆的一部分：Aryabhata 的弧线从 $0^\circ$ 到 $90^\circ$，而对于其他弧，天文学家使用圆的对称性。缺少的是标志的规则。虽然正弦和余弦是线段长度，但它们始终为正，并且每个象限都需要单独推理。这一变化是随着人们接受负数作为具有几何意义的数字而发生的。在 1629 中，法国人 Albert Girard 写道，在几何学中，负解“表示挫折”——无论谁走 $-3$ 步，都会向后走 3 步。正是这个想法向循环中一点的坐标发出信号，从而向每个象限中的循环函数发出信号。在接下来的一个世纪，欧拉将符号规则组织成我们使用的形式。

  1. 628
    印度的Brahmagupta给出了处理“债务”（负面）和“财富”（正面）的规则。
  2. 1545
    卡尔达诺仍然称负根numeri ficti，虚构数字。
  3. 1629
    Albert Girard：在几何学中，负数“表示挫折”。
  4. 1637
    笛卡尔发布了几何，它产生了坐标。
  5. 1748
    欧拉组织了四个象限中的循环函数的符号。

来源： Girard (MacTutor) · 三角函数 (MacTutor)。

在日常生活中

  • **计算器。**要计算 $\operatorname{sen} 1000^\circ$，机器首先转动 ($1000^\circ - 720^\circ = 280^\circ$)，然后将其减少到第一象限：$\operatorname{sen} 280^\circ = -\operatorname{sen} 80^\circ$。
  • 导航。 向 $225^\circ$（西南，从东测量）方向步行 10 公里，向东移动 $10\cos 225^\circ \approx -7{,}07$ 公里，向北移动 $10\operatorname{sen} 225^\circ \approx -7{,}07$ 公里：路牌上写着“西”和“南”。
  • 游戏。 面向 $150^\circ$ 的角色朝 $(\cos 150^\circ, \operatorname{sen} 150^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 方向行走：向左并向上一点。
在任何象限的航向中，余弦和正弦符号表明船是向东还是向西、向北还是向南行驶。

理论

从第二象限到第一象限

给定 $x$ 和 $\frac{\pi}{2} < x < \pi$，令 $P$ 为其在循环中的图像，$P'$ 为循环的点**$P$ 相对于正弦轴对称**。逆时针方向，$\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{PA'} = \pi$；如 $\overset{\frown}{AP'} = \overset{\frown}{PA'}$，则为 $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{AP'} = \pi$，因此为 $\overset{\frown}{AP'} = \pi - x$。

由于$P$和$P'$的纵坐标相同，横坐标相反：

Propriedade第二象限

$$\operatorname{sen} x = \operatorname{sen}(\pi - x) \qquad \cos x = -\cos(\pi - x)$$

并且通过基本关系，

$$\operatorname{tg} x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{\operatorname{sen}(\pi - x)}{-\cos(\pi - x)} = -\operatorname{tg}(\pi - x)$$$$\operatorname{cotg} x = -\operatorname{cotg}(\pi - x) \qquad \sec x = -\sec(\pi - x) \qquad \operatorname{cossec} x = \operatorname{cossec}(\pi - x).$$

Exemplo示例

$$\operatorname{sen} 115^\circ = \operatorname{sen}(180^\circ - 115^\circ) = \operatorname{sen} 65^\circ \qquad \cos 130^\circ = -\cos(180^\circ - 130^\circ) = -\cos 50^\circ$$$$\operatorname{tg}\frac{2\pi}{3} = -\operatorname{tg}\left(\pi - \frac{2\pi}{3}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{3} \qquad \operatorname{cotg}\frac{4\pi}{5} = -\operatorname{cotg}\left(\pi - \frac{4\pi}{5}\right) = -\operatorname{cotg}\frac{\pi}{5}$$

从第三象限到第一象限

给定 $x$ 和 $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$，令 $P$ 为其图像，$P'$ 为**$P$ 相对于中心的对称循环的点**。逆时针方向，$\overset{\frown}{AP} - \overset{\frown}{AP'} = \pi$，因此$\overset{\frown}{AP'} = x - \pi$。

$P$和$P'$横坐标和纵坐标相反：

Propriedade第三象限

$$\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(x - \pi) \qquad \cos x = -\cos(x - \pi)$$$$\operatorname{tg} x = \frac{-\operatorname{sen}(x - \pi)}{-\cos(x - \pi)} = \operatorname{tg}(x - \pi)$$$$\operatorname{cotg} x = \operatorname{cotg}(x - \pi) \qquad \sec x = -\sec(x - \pi) \qquad \operatorname{cossec} x = -\operatorname{cossec}(x - \pi).$$

Exemplo示例

$$\operatorname{sen} 210^\circ = -\operatorname{sen}(210^\circ - 180^\circ) = -\operatorname{sen} 30^\circ \qquad \cos 225^\circ = -\cos(225^\circ - 180^\circ) = -\cos 45^\circ$$$$\operatorname{tg}\frac{4\pi}{3} = \operatorname{tg}\left(\frac{4\pi}{3} - \pi\right) = \operatorname{tg}\frac{\pi}{3} \qquad \sec\frac{7\pi}{6} = -\sec\left(\frac{7\pi}{6} - \pi\right) = -\sec\frac{\pi}{6}$$

从第四象限到第一象限

给定 $x$ 和 $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$，令 $P$ 为其图像，$P'$ 为**$P$ 相对于余弦轴的对称循环的点**。逆时针方向，$\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{PA} = 2\pi$；如 $\overset{\frown}{AP'} = \overset{\frown}{PA}$，则为 $\overset{\frown}{AP} + \overset{\frown}{AP'} = 2\pi$，因此为 $\overset{\frown}{AP'} = 2\pi - x$。

$P$和$P'$横坐标相同，纵坐标相反：

Propriedade第四象限

$$\operatorname{sen} x = -\operatorname{sen}(2\pi - x) \qquad \cos x = \cos(2\pi - x)$$$$\operatorname{tg} x = \frac{-\operatorname{sen}(2\pi - x)}{\cos(2\pi - x)} = -\operatorname{tg}(2\pi - x)$$$$\operatorname{cotg} x = -\operatorname{cotg}(2\pi - x) \qquad \sec x = \sec(2\pi - x) \qquad \operatorname{cossec} x = -\operatorname{cossec}(2\pi - x).$$

Exemplo示例

$$\operatorname{sen} 280^\circ = -\operatorname{sen}(360^\circ - 280^\circ) = -\operatorname{sen} 80^\circ \qquad \cos 340^\circ = \cos(360^\circ - 340^\circ) = \cos 20^\circ$$$$\operatorname{tg}\frac{11\pi}{6} = -\operatorname{tg}\left(2\pi - \frac{11\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} \qquad \operatorname{cossec}\frac{5\pi}{3} = -\operatorname{cossec}\left(2\pi - \frac{5\pi}{3}\right) = -\operatorname{cossec}\frac{\pi}{3}$$

Resumo经验法则

  1. 如果圆弧多于一圈，则删除整圈（加或减 $360^\circ$ 或 $2\pi$ 的倍数）。
  2. 找到相应的第一象限的弧：$180^\circ - x$（第二个）、$x - 180^\circ$（第三个）或$360^\circ - x$（第四个）。
  3. 函数的绝对值相同； 符号是$x$象限中的函数的符号。

本节中的练习编号为[章节列表]中的117(/cn/posts/basic/trigonometria/livro/cap04-reducao-ao-primeiro-quadrante/04-exercicios/).