最後の 3 つの循環関数によって全体像が完成します。コタンジェントは、$B$ でサイクルに接する横軸で読み取られます。セカントとコセカントは、$P$ のサイクルの接線を引き、どこで軸が切れるかを見ると表示されます。

歴史

「セカント」と「タンジェント」という名前は、円の幾何学に由来しており、接線は円周に接触しており（タンジェ、タッチ）、 割線はカットしています（セカレ、カット）。定義図において、線分$\overline{OS}$は延長すると周期の割となる直線上にあり、線分$\overline{AT}$は接線$A$上にあります。これらの部分はすでにアラブの天文学者によって表にまとめられており、10 世紀のアブ・アルワファは 6 つの機能を整理し、それぞれが他の機能からどのように派生するかを示しました。

アブ・アル・ワファ (940 – 998)、後の芸術的表現。
アブ・アル・ワファ (940 – 998)、後の芸術的表現。作者不明 · ウィキメディア コモンズ · パブリック ドメイン

出典: Abu al-Wafa (MacTutor) · 三角関数 (MacTutor)。

日常生活での応用

  • 屋根 (セカント)。 勾配 $\alpha$ の屋根の幅の半分 $d$ にわたる垂木の寸法は $d\sec\alpha$ です。大工はこのために木を切ります。
  • スロープ (コセカント)。 傾斜 $\alpha$ で高さ $h$ に登るには、スロープの寸法は $h\operatorname{cossec}\alpha$ になります。ブラジルのアクセシビリティ基準の最大傾斜 (8,33%、$\alpha \approx 4{,}76^\circ$) では、50 cm に到達するには、約 6 m の傾斜が必要です。
  • 影 (コタンジェント)。 角度高さ $\alpha$ にある太陽と高さ $h$ の棒は、$h\operatorname{cotg}\alpha$ の影を落とします。これが日時計の原理です。
ランプの長さは、高さに傾斜のコセカントを掛けたものです。アクセシビリティ標準の 8,33% 制限をテストします。

理論

コタンジェント関数

定義コタンジェントとコタンジェント関数

実数 $x$ が与えられた場合、$x \ne k\pi$ とともに、$P$ をサイクル内のその画像とします。直線 $\overleftrightarrow{OP}$ を考え、その余接軸との交点を $D$ とします。 $x$ のコタンジェント（$\operatorname{cotg} x$と表記します）は、線分$\overline{BD}$ の代数測度です。

実数$x \ne k\pi$ と実数$\overline{BD} = \operatorname{cotg} x$を対応付ける関数$f\colon D \to \mathbb{R}$ がコタンジェント関数です。

$x = k\pi$ の場合、点 $P$ は $A$ または $A'$ 内にあり、線分 $\overleftrightarrow{OP}$ は余接軸に平行です。$D$ はなく、$\operatorname{cotg} x$ は定義されていません。

$P$をドラッグします。直線 $OP$ は、余接軸 ($B$ を通る水平方向) を $D$ で切断します。 $\overline{BD} = \operatorname{cotg} x$。

性質コタンジェント関数のプロパティ

  1. ドメインは$D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne k\pi\}$です。
  2. 画像は $\mathbb{R}$ です。実際の $y$ ごとに、$\operatorname{cotg} x = y$ を含む実際の $x$ が存在します。
  3. $x$ が第 1 象限または第 3 象限の場合、$\operatorname{cotg} x$ はプラスとなります。
  4. $x$ が第 2 象限または第 4 象限の場合、$\operatorname{cotg} x$ はマイナスになります。
  5. $x$が4象限のいずれかを通過すると、$\operatorname{cotg} x$ は減少します。
  6. コタンジェント関数は周期的であり、その周期は $\pi$ です。
デモを見る

2. $y$ が与えられた場合、余接軸上の $\overline{BD} = y$ で点 $D$ をマークします。直線 $\overleftrightarrow{OD}$ は、コタンジェントが $y$ である実像の 2 点でサイクルを切ります。

3 と 4 第 1 象限と第 3 象限では、直線 $OP$ が $B$ ($\overline{BD} > 0$) の右側で軸 $d$ を切ります。 2 番目と 4 番目の左側 ($\overline{BD} < 0$)。

5. 第 1 象限では、$x$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ に増加すると、直線 $OP$ がますます「直立」し、点 $D$ が右から $B$ に近づき、$\overline{BD}$ が減少します ($+\infty$ から0)。直角三角形$OBD$では辺$OB = 1$が固定されており、角$B\hat OD$が減少すると辺$BD$も減少し、この角は$x$の補数になります。他の象限も同様です。

6. $x$ と $x + k\pi$ には一致または正反対の画像があり、同じ直線 $OP$ と同じ点 $D$ が決まります。したがって、$\operatorname{cotg}(x + k\pi) = \operatorname{cotg} x$、および $k\pi$ の最小の正の値は $\pi$ になります。

コタンジェントグラフ。漸近線は $x = k\pi$ の線です。

乾燥機能

定義セカントとセカント関数

実数 $x$ が与えられた場合、$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ とともに、$P$ をサイクル内のその画像とします。 $P$ の周期に接する直線$s$ を考え、そのコサイン軸との交点を$S$とします。 $x$ の正割 ($\sec x$と表記します) は、点$S$ の横座標 $\overline{OS}$ です。

セカント関数とは、各実数$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$に実数$\overline{OS} = \sec x$を対応付ける関数$f\colon D \to \mathbb{R}$です。

$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ の場合、点 $P$ は $B$ または $B'$ 内にあり、線分 $s$ はコサイン軸に平行で、$\sec x$ は定義されていません。

$P$をドラッグします。 $P$ でのサイクルの接線は、$S$ ($\overline{OS} = \sec x$) で余弦軸を切り、$C$ ($\overline{OC} = \operatorname{cossec} x$) で正弦軸を切ります。

性質セカント関数のプロパティ

  1. ドメインは$D = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$です。
  2. 画像は $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$ です。$y \le -1$ または $y \ge 1$ を持つすべての $y$ に対して、$\sec x = y$ を持つ $x$ があります。
  3. $x$ が第 1 象限または第 4 象限の場合、$\sec x$ はプラスとなります。
  4. $x$ が第 2 象限または第 3 象限の場合、$\sec x$ はマイナスになります。
  5. $x$が第1象限か第2象限を通過すると、$\sec x$ は増加します。
  6. $x$が第3象限か第4象限を通過すると、$\sec x$ は減少します。
  7. セカント関数は周期的であり、その周期は $2\pi$ です。
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鍵となるのは三角形$OPS$ で、 これは**$P$ の長方形**（半径は接線に垂直）、辺は$OP = 1$です。角度 $P\hat OS$ の測定値が $\theta$ の場合、$\cos\theta = \dfrac{OP}{OS} = \dfrac{1}{OS}$、つまり $|\overline{OS}| = \dfrac{1}{|\cos x|}$ になります。 $S$ は、$u$ 軸上の $P$ の投影と $O$ の同じ側にあります。したがって

$$\sec x = \frac{1}{\cos x}.$$

2. $0 < |\cos x| \le 1$ として、$|\sec x| \ge 1$ があります。逆に$|y| \ge 1$なら$\frac{1}{y} \in [-1, 1]$、$\cos x = \frac{1}{y}$の$x$、つまり$\sec x = y$があります。

3 と 4。 $\sec x$ には $\cos x$ の符号があり、第 1 象限と第 4 象限は正、第 2 象限と第 3 象限は負です。

5 と 6。 第 1 象限では、$\cos x$ が減少して正となるため、$\frac{1}{\cos x}$ が増加します。 2 番目では、$\cos x$ が減少し、負であるため、その逆も増加します ($-\infty$ から $-1$ になります)。 3 番目と 4 番目では $\cos x$ が増加し、その逆は減少します。

7. $\cos(x + 2k\pi) = \cos x$ は $\sec(x + 2k\pi) = \sec x$ を意味します。 $\sec 0 = 1$ は完全に回転した後にのみ繰り返されるため、最小の正の期間は $2\pi$ です。

セカントグラフ。円弧は $y = 1$ より上か、$y = -1$ より下です。漸近線は $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ です。

コセカント関数

定義コセカントとコセカント関数

実数 $x$ が与えられた場合、$x \ne k\pi$ とともに、$P$ をサイクル内のその画像とします。 $P$ のサイクルに接する直線 $s$ を考え、$C$ を正弦軸との交点とします。 $x$ のコセカント（$\operatorname{cossec} x$と表記します）は、点$C$の縦座標$\overline{OC}$です。

実数$\overline{OC} = \operatorname{cossec} x$と実数$x \ne k\pi$を対応付ける関数$f\colon D \to \mathbb{R}$ がコセカント関数です。

$x = k\pi$ の場合、点 $P$ は $A$ または $A'$ 内にあり、線 $s$ は正弦軸に平行で、$\operatorname{cossec} x$ は定義されていません。

性質コセカント関数のプロパティ

  1. ドメインは$D = \{x \in \mathbb{R} \mid x \ne k\pi\}$です。
  2. 画像は $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$.
  3. $x$ が第 1 象限または第 2 象限の場合、$\operatorname{cossec} x$ は陽性となります。
  4. $x$ が第 3 象限または第 4 象限の場合、$\operatorname{cossec} x$ はマイナスになります。
  5. $x$が第2象限か第3象限を通過すると、$\operatorname{cossec} x$ は増加します。
  6. $x$が第1象限または第4象限を通過すると、$\operatorname{cossec} x$ は減少します。
  7. コセカント関数は周期的であり、その周期は $2\pi$ です。
デモを見る

$P$ と $OP = 1$ の四角形である三角形 $OPC$ では、角度 $P\hat OC$ は $OP$ が軸 $u$ となす角度の補数であり、同様の方法で求めます。

$$\operatorname{cossec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x}.$$

すべてのプロパティは正弦のプロパティに従います。$|\operatorname{sen} x| \le 1$ は $|\operatorname{cossec} x| \ge 1$ を与えます。符号は正弦波です (第 1 象限と第 2 象限が正)。正弦が符号を維持しながら増加する場合 (第 1 象限と第 4 象限)、逆数は減少し、正弦が減少する場合 (第 2 象限と第 3 象限)、逆数は増加します。周期は正弦波の $2\pi$ です。

コセカントグラフ。 $0$ から $2\pi$ までの強調表示された範囲は完全な期間です。漸近線は $x = k\pi$ です。

まとめ6つの循環関数

関数 ドメイン 画像 期間 象限ではポジティブ
$\operatorname{sen}$ $\mathbb{R}$ $[-1, 1]$ $2\pi$ 1º e 2º
$\cos$ $\mathbb{R}$ $[-1, 1]$ $2\pi$ 1º e 4º
$\operatorname{tg}$ $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ $\mathbb{R}$ $\pi$ 1º e 3º
$\operatorname{cotg}$ $x \ne k\pi$ $\mathbb{R}$ $\pi$ 1º e 3º
$\sec$ $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$ $2\pi$ 1º e 4º
$\operatorname{cossec}$ $x \ne k\pi$ $\mathbb{R} - \,]-1, 1[$ $2\pi$ 1º e 2º