接線は、サイクルの中心と点 $P$ を結ぶ直線の傾きを測定します。これは、$A$ でサイクルに接する垂直軸 (接線軸) で読み取られ、サインやコサインとは異なり、任意の実数値を取ることができます。

歴史

接線は円から遠く離れて生まれました、 それは影から生まれました。地面に突き刺された垂直の棒であるグノモンは、太陽の高さに応じて長さが異なる影を落とします。影と棒の比率は、今日の言葉で言えば、接線（または棒の位置に応じて余接）です。日時計と祈りの時間のため、イスラム世界の天文学者はこれらの比率を必要とし、 最初に知られている影表は860年頃にバグダッドで作られました。これらは通常ハバシュ・ アル・ ハシブによるものとされています。 1 世紀半後、アル＝ ビルーニは影に関する徹底的な論文で知られているすべてをまとめました。 「タンジェント」という名前は、トーマス・フィンケによる 1583 にのみ表示されます (第 VIII 章を参照)。

アラブの天文学者の二つの影。立っている棒は、 太陽の高さの余接である直線の影を地面に投影します。壁に刺さった棒は壁にヴァースシャドウを投影し、それが接線となります。

出典: 三角関数 (MacTutor) · al-Biruni (MacTutor)。

日常生活での応用

  • スロープと屋根。 スロープの傾斜はパーセンテージで $100 \cdot \operatorname{tg}\alpha$ です。8% のスロープは水平 1 メートルごとに 8 cm 上昇します。
  • 影。 角度高さ $\alpha$ で太陽に照らされた高さ $h$ の棒は、長さ $\dfrac{h}{\operatorname{tg}\alpha}$ の影を落とします。
ランプの傾きのパーセンテージは、角度の正接の 100 倍です。

理論

定義

定義タンジェントとタンジェント関数

実数 $x$ が与えられた場合、$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ とともに、$P$ をサイクル内のその画像とします。直線 $\overleftrightarrow{OP}$ を考え、その接線軸との交点を $T$ とします。 $x$ のタンジェント（$\operatorname{tg} x$と表記します）は、線分$\overline{AT}$ の代数測度です。

各実数$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$と実数$\overline{AT} = \operatorname{tg} x$、つまり$f(x) = \operatorname{tg} x$を対応付ける関数$f\colon D \to \mathbb{R}$ が正接関数です。

$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$の場合、点$P$は$B$または$B'$内にあり、線分$\overleftrightarrow{OP}$は接線軸と平行です。 $T$は点がないため、$\operatorname{tg} x$は定義されません。

$P$をドラッグします。直線 $OP$ は接線軸を $T$ で切断します。 $\overline{AT}$ の代数測度は $\operatorname{tg} x$ です。 $B$と$B'$の近くで、点$T$は無限遠に逃げます。

プロパティ

性質正接関数のプロパティ

  1. 正接関数の定義域は $D = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$ です。
  2. 正接関数の範囲は $\mathbb{R}$ です。実数 $y$ ごとに、$\operatorname{tg} x = y$ を含む実数 $x$ が存在します。
  3. $x$ が第 1 象限または第 3 象限の場合、$\operatorname{tg} x$ はプラスとなります。
  4. $x$ が第 2 象限または第 4 象限の場合、$\operatorname{tg} x$ はマイナスになります。
  5. $x$が4象限のいずれかを通過すると、$\operatorname{tg} x$ は増加します。
  6. 正接関数は周期的であり、その周期は$\pi$です。
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2. $y \in \mathbb{R}$ が与えられた場合、$\overline{AT} = y$ となる点 $T$ を接軸上で考えます。直線 $\overleftrightarrow{OT}$ は、接線が $y$ である実数 $x$ のイメージである $P$ と $P'$ の 2 点で周期と交差します。

3 と 4。 第 1 象限と第 3 象限では、直線 $OP$ が上の接線軸 $A$ を切り、$\overline{AT}$ は正です。 2 番目と 4 番目では $A$ を下にカットし、$\overline{AT}$ はマイナスです。

5. たとえば、$x$ が第 1 象限を通過する場合を証明してみましょう。この象限に $x_1 < x_2$ が与えられると、中心角は $\alpha_1 < \alpha_2$ を満たします。直線$OP_1$と$OP_2$は$T_1$と$T_2$で接軸を切り、固定辺$OA = 1$を持つ直角三角形$OAT$は、反対側の辺が$O$：$\overline{AT_1} < \overline{AT_2}$、つまり$\operatorname{tg} x_1 < \operatorname{tg} x_2$の角度で伸びます。他の象限も同様です。

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6。 $\operatorname{tg} x = \overline{AT}$ と $k \in \mathbb{Z}$ の場合、$\operatorname{tg}(x + k\pi) = \overline{AT}$ になります。$x$ と $x + k\pi$ には、イメージ $P$ と $P'$ がサイクル内で一致または正反対にあるためです。したがって $\overleftrightarrow{OP} = \overleftrightarrow{OP'}$、したがって $\overleftrightarrow{OP} \cap c = \overleftrightarrow{OP'} \cap c$。次に、すべての $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ について、

$$\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(x + k\pi),$$

正接関数は周期的です。ピリオドは、$k\pi$ の最小の正の値、つまり $\pi$ です。

グラフ: 接線

$x$ が $[0, 2\pi]$ を通過し、$P$ が反時計回りに完全に回転すると、代数測度 $\overline{AT}$ は次のように変化します。

$x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\operatorname{tg} x$ $0$ 成長する $\nexists$ 成長する $0$ 成長する $\nexists$ 成長する $0$

$f(x) = \operatorname{tg} x$ のグラフをタンジェントイドといいます。

タンジェントイド。 $-\frac{\pi}{2}$ から $\frac{\pi}{2}$ までの強調表示された範囲にはピリオドが含まれています。破線 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ は漸近線であり、接線は存在しません。
接軸上の点$T$とグラフ。 $x = \frac{\pi}{2}$と$x = \frac{3\pi}{2}$には接線が存在しません。