切线测量连接循环中心与点 $P$ 的直线的斜率。它是在垂直轴上读取的，该垂直轴接触 $A$ 处的周期（切轴），并且与正弦和余弦不同，它可以采用任何实值。

故事

切线诞生于远离圆的地方：它诞生于阴影。一根垂直插入地面的棍子，即晷针，投射出阴影，其长度取决于太阳的高度，而阴影和棍子之间的比率，用今天的语言来说，就是切线（或余切线，取决于棍子的位置）。由于日晷和祈祷时间的存在，伊斯兰世界的天文学家需要这些比率，并且第一个已知的影子表是在 860 左右在巴格达制作的。它们通常归因于 Habash al-Hasib。一个半世纪后，al-Biruni汇集了关于阴影的详尽论文中已知的所有内容。 “tangent”这个名字只出现在托马斯·芬克的1583中（见第八章）。

阿拉伯天文学家的两个影子。站立的棍子在地面上投射出直影，该影子是太阳高度的余切值；插在墙上的棍子将诗句阴影投射到墙上，这就是切线。

来源： 三角函数 (MacTutor) · al-Biruni (MacTutor)。

在日常生活中

  • 坡道和屋顶。 坡道的坡度（以百分比表示）为 $100 \cdot \operatorname{tg}\alpha$：每水平米，8% 坡道上升 8 厘米。
  • 阴影。 一根高度为 $h$ 的棒被太阳以角度高度 $\alpha$ 照射，投射出长度为 $\dfrac{h}{\operatorname{tg}\alpha}$ 的阴影。
斜坡的斜率（以百分比表示）是 100 乘以角度的正切。

理论

定义

Definição正切和正切函数

给定一个实数$x$，与$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，令$P$为其在循环中的图像。考虑直线 $\overleftrightarrow{OP}$ 并令 $T$ 为其与切轴的交点。 $x$ 的正切（我们表示为$\operatorname{tg} x$）是线段$\overline{AT}$ 的代数测度。

正切函数是将每个实数$x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$与实数$\overline{AT} = \operatorname{tg} x$（即$f(x) = \operatorname{tg} x$）关联起来的函数$f\colon D \to \mathbb{R}$。

对于 $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$，点 $P$ 位于 $B$ 或 $B'$ 中，线 $\overleftrightarrow{OP}$ 与切轴平行。由于没有点$T$，因此未定义$\operatorname{tg} x$。

拖动 $P$。直线$OP$与切轴$T$相交； $\overline{AT}$ 的代数测度是 $\operatorname{tg} x$。在 $B$ 和 $B'$ 附近，点 $T$ 跑向无穷远。

特性

Propriedade正切函数的性质

  1. 正切函数的定义域是$D = \left\{x \in \mathbb{R} \;\middle|\; x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}$。
  2. 正切函数的范围是 $\mathbb{R}$：对于每个实数 $y$，都有一个实数 $x$ 和 $\operatorname{tg} x = y$。
  3. 如果 $x$ 来自第一或第三象限，则 $\operatorname{tg} x$ 为正。
  4. 如果 $x$ 来自第二或第四象限，则 $\operatorname{tg} x$ 为负。
  5. 如果 $x$ 穿过四个象限中的任何一个，则 $\operatorname{tg} x$ 增加。
  6. 正切函数是周期，其周期为$\pi$。
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**2。**给定 $y \in \mathbb{R}$，考虑在切轴上的点 $T$，使得 $\overline{AT} = y$。直线$\overleftrightarrow{OT}$与周期相交于两点，$P$和$P'$，实数$x$的图像，其正切为$y$。

3和4。在第一象限和第三象限中，直线$OP$与$A$上方****切线轴相交，$\overline{AT}$为正；在第 2 个和第 4 个中，它切割低于 $A$，并且 $\overline{AT}$ 为负。

5。 例如，让我们证明$x$何时穿过第一象限。给定该象限中的$x_1 < x_2$，圆心角满足$\alpha_1 < \alpha_2$。直线$OP_1$和$OP_2$在$T_1$和$T_2$处与切轴相交，在边$OA = 1$固定的直角三角形$OAT$中，其对边以$O$处的角度增长：$\overline{AT_1} < \overline{AT_2}$，即$\operatorname{tg} x_1 < \operatorname{tg} x_2$。其他象限类似。

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**6。**如果$\operatorname{tg} x = \overline{AT}$和$k \in \mathbb{Z}$，则$\operatorname{tg}(x + k\pi) = \overline{AT}$，因为$x$和$x + k\pi$在循环中有图像$P$和$P'$重合或截然相反；因此 $\overleftrightarrow{OP} = \overleftrightarrow{OP'}$ 和 $\overleftrightarrow{OP} \cap c = \overleftrightarrow{OP'} \cap c$。然后，对于所有$x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$，

$$\operatorname{tg} x = \operatorname{tg}(x + k\pi),$$

正切函数是周期性的。周期为$k\pi$的最小正值，即$\pi$。

图形：正切线

当 $x$ 经过 $[0, 2\pi]$ 并且 $P$ 逆时针转一整圈时，代数测度 $\overline{AT}$ 变化如下：

$x$ $0$ $\frac{\pi}{2}$ $\pi$ $\frac{3\pi}{2}$ $2\pi$
$\operatorname{tg} x$ $0$ 成长 $\nexists$ 成长 $0$ 成长 $\nexists$ 成长 $0$

$f(x) = \operatorname{tg} x$ 的图形称为 切线：

切线。突出显示的范围（$-\frac{\pi}{2}$ 和 $\frac{\pi}{2}$ 之间）包含一个句点；虚线 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 是渐近线，其中不存在切线。
切轴和图形上的点 $T$。在 $x = \frac{\pi}{2}$ 和 $x = \frac{3\pi}{2}$ 中不存在切线。