Euler's Eyes
2026-10-22
コサイン関数
サインが回転点の高さだとすると、 コサインは中心からの水平方向の距離になります。この 2 つは同時に行われます。一方が最大になると、もう一方はゼロになります。
歴史
何世紀にもわたって、コサインにはそれ自体の名前がなく、単に「補数のサイン」でした。ビエテはこれを洞残渣と呼び、著者によって書き方が異なりました。 1620 では、 英国人のエドマンド・ ガンターが正接三角形の中で、 短縮形共正弦を提案しましたが、 それとともに共接線も提案しました。 4 年後、 ギュンターは図の中で罪という略語を初めて使用しました。この名前は定着し、接頭辞 co- がすべての「補完」機能のブランドになりました。
出典: ギュンター (MacTutor) · 三角関数 (MacTutor)。
日常生活での応用
- ソーラー パネル。 パネルが受け取るエネルギーは、太陽光線とパネルの垂線との間の角度の余弦に比例します。この垂線から $60^\circ$ の位置にある光線では、正面から受けるエネルギーの半分を受け取ります。
- エンジン コネクティング ロッドとクランク機構では、ピストンの位置はほぼ $r\cos\theta$ に従います。$\theta$ はクランクシャフトの回転です。
- スロープ 長さ $L$ と傾斜 $\alpha$ のスロープは、床上で水平方向の長さ $L\cos\alpha$ を占めます。これはプロジェクトで確保する必要があるスペースです。
理論
定義
定義コサインとコサイン関数
実数 $x$ が与えられた場合、$P$ をサイクル内のその画像とします。 $x$ のコサイン（$\cos x$と表記します）は、系$uOv$に対する点$P$の横座標$\overline{OP_2}$です。
それぞれの実数$x$と実数の$\overline{OP_2} = \cos x$、つまり$f(x) = \cos x$を対応付ける関数$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ がコサイン関数です。
プロパティ
性質コサイン関数の性質
- コサイン関数の範囲は、すべての実数 $x$ に対して $[-1, 1]$: $\;-1 \le \cos x \le 1$ の範囲です。
- $x$ が第 1 象限または第 4 象限の場合、$\cos x$ はプラスとなります。
- $x$ が第 2 象限または第 3 象限の場合、$\cos x$ はマイナスになります。
- $x$が第3象限か第4象限を通過すると、$\cos x$ は増加します。
- $x$が第1象限か第2象限を通過すると、$\cos x$ は減少します。
- コサイン関数は周期的であり、その周期は$2\pi$です。
デモを見る
これらは正弦波の場合と同じ考え方で、$P$ の横軸に注目します。
1. 半径周期1の点の横軸は$-1$から$1$の範囲となります。
2 と 3。 第 1 象限と第 4 象限では、$P$ は $v$ 軸の右側にあり、横軸は正です。 2 番目と 3 番目では、左側にあり、負の横軸を持ちます。
4 と 5。 $x$ が第 1 象限を通過すると、$P$ は $A$ から $B$ に進み、横軸は 1 から 0 に減少します。 2 番目では、$B$ から $A'$ に、0 から $-1$ に減少します。 3 番目では、$P$ は $A'$ から $B'$ に進み、横軸は $-1$ から 0 に増加します。 4 番目では、$B'$ から $A$ まで、0 から 1 まで成長します。
6. $x$ と $x + 2k\pi$ は同じ画像 $P$ を持っているため、すべての $x$ とすべての $k \in \mathbb{Z}$ が $\cos x = \cos(x + 2k\pi)$ になります。 $2k\pi$ の最小の正の値は $2\pi$ です。
グラフ: コサイン
$x$ が $[0, 2\pi]$ を通過し、$P$ が反時計回りに完全に回転すると、$P$ の横軸は次のように変化します。
| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos x$ | $1$ | 減少する | $0$ | 減少する | $-1$ | 成長する | $0$ | 成長する | $1$ |
$f(x) = \cos x$ のグラフをコシノイドといいます。
ドメインが$\mathbb{R}$であるため、コサインは$2\pi$の右側と$0$の左側に続きます。