Vamos provar três propriedades que relacionam as medidas dos lados com as medidas dos ângulos de um triângulo retângulo. Elas ligam a trigonometria do ciclo, que estudamos até aqui, à trigonometria dos triângulos, de onde tudo começou. A história Conta-se que Tales de Mileto (século VI a.C.) mediu a altura da Grande Pirâmide do Egito comparando a sua sombra com a sombra de uma vara: no mesmo instante, o Sol forma o mesmo ângulo com os dois objetos, e a razão entre altura e sombra é a mesma para ambos. É exatamente a ideia deste capítulo — fixado um ângulo, a razão entre dois lados do triângulo retângulo é fixa — embora, para Tales, ainda não houvesse nomes nem tabelas para essas razões. A história chegou até nós por autores muito posteriores, como Diógenes Laércio e Plutarco.
Para o cosseno, a reta auxiliar é vertical: as soluções de $\cos x > m$ ficam à direita dela, e as de $\cos x < m$, à esquerda. A história A notação de intervalos que usamos neste livro, com colchetes “virados” para indicar um extremo excluído — $\left]a, b\right[$ —, é tradição francesa; ela foi difundida no século XX pelo grupo Nicolas Bourbaki, pseudônimo coletivo de matemáticos franceses que reescreveram os fundamentos da matemática numa série de livros. Nos países de língua inglesa é mais comum a notação com parênteses, $(a, b)$.
Se o seno é a altura do ponto que gira, o cosseno é o seu afastamento horizontal do centro. Os dois andam juntos: quando um está no máximo, o outro passa por zero. A história Durante séculos, o cosseno não teve nome próprio: era só “o seno do complemento”. Viète o chamava de sinus residuae, e cada autor escrevia de um jeito. Em 1620, o inglês Edmund Gunter propôs, no seu Canon triangulorum, a forma abreviada co-sinus — e com ela também co-tangens. Quatro anos depois, Gunter foi o primeiro a usar a abreviação sin, numa figura; os nomes pegaram, e o prefixo co- virou a marca de todas as funções “do complemento”.