Euler's Eyes
2026-10-22
一般的な概念と周期関数
循環関数を定義する前に、サイクルに 4 つの軸と、ループのどの「部分」に数値があるかを示す言語を装備しました。次に、 これらすべての関数に共通する特性である周期性を研究します。
歴史
言葉 正弦 には興味深い話がある。 5世紀のインドの天文学者、例えば アリヤバータ、彼らはハーフロープをセットしました。 ジャ・アルダ または単に じゃ。アラビア語の翻訳者はこの用語を次のように転写しました。 ジブ子音のみで書かれています。 ジブ。 12世紀、ラテン語の翻訳者たちはこう読んだ。 ジャイブ — 「折り目」、「胸」 — そしてそれを次のように翻訳しました 副鼻腔。ザ 正接 そして 割線 名前はデンマーク人から付けられました トーマス・フィンケ、1583 年、および接頭辞 共同 「補数」を意味するコサイン、コタンジェント、コセカントの値は次のように修正されました。 エドマンド・ガンター 1620年。
単なるテーブルではなく研究対象としての周期関数の考え方は、18 世紀にオイラーによって成熟し、19 世紀にフーリエによって爆発しました。これは、あらゆる周期運動がサインとコサインの和として記述できることを示しました（巻末の読み方を参照）。章）。
サンスクリット語: 半文字列"] --> B["jya
短い形式"] B --> C["ジバ
アラビア語、適切な意味なし」] C --> D["jb
子音だけで書かれています。」 D --> E["ジャイブ
「ひだ」、「むね」と読みます。」 E --> F["副鼻腔
ラテン語、世紀。 XII」] F --> G["正弦"]
- Aryabhata escreve o Aryabhatiya. A meia-corda se chama jya-ardha, ou só jya, “corda de arco”.
- Na Casa da Sabedoria, as tábuas indianas são traduzidas para o árabe. Jya vira jiba, palavra sem significado em árabe, escrita só com as consoantes jb.
- Robert de Chester traduz para o latim as tábuas de al-Khwarizmi. Lendo jb como jaib — “dobra”, “seio” —, escreve sinus.
- Gerardo de Cremona e outros tradutores de Toledo vertem dezenas de obras árabes de astronomia; sinus se espalha pela Europa.
- Thomas Fincke publica a Geometria rotundi e dá nome à tangens e à secans.
- No Gresham College, Edmund Gunter propõe co-sinus e co-tangens; em 1624 usa pela primeira vez a abreviação sin.
出典: 三角関数 (MacTutor) · Aryabhata (MacTutor) · 三角関数の用語の初期の使用法 (Jeff Miller)。
日常生活での応用
- カレンダー 曜日にはピリオド 7 が付いています。今日が火曜日の場合、$100 = 14 \cdot 7 + 2$ なので 100 日後には木曜日になります。
- 月の満ち欠け。 新月から新月までの周期は約 29,5 日続きます。満月の日付がわかっているので、その期間の倍数を加算して次の満月を予測します。
- 信号機。 周期 90 の信号は、常に同じ順序で緑、黄、赤を繰り返します。つまり、瞬間 $t$ の状態は瞬間 $t + 90$ の状態と同じです。
理論
サイクルの 4 つの軸
$A$ を原点とする三角関数のサイクルでは、4 つの軸が関連付けられます。
定義円弧関数の軸
- コサイン軸 ($u$): $\overrightarrow{OA}$ 方向、$O$ から $A$ までの正の方向。
- 正弦軸 ($v$): $u$ から $O$ までの垂直方向、$O$ から $B$ までの正の方向。$B$ は $\overset{\frown}{AB} = \dfrac{\pi}{2}$ になります。
- 接線 ($c$)：$A$を通り$v$に平行で、$v$と同じ方向。
- コタンジェント軸 ($d$)：$B$を通り$u$に平行で、$u$と同じ方向。
象限
軸 $u$ および $v$ は、円周を 4 つの円弧 ($\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BA'}$、$\overset{\frown}{A'B'}$、および $\overset{\frown}{B'A}$) に分割します。画像 $P$ の実数 $x$ が与えられると、次のようになります。
定義象限
| $x$ は第 1 象限にあります | $\iff P \in \overset{\frown}{AB}$ | $\iff 2k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ |
| $x$ は第 2 象限にあります。 | $\iff P \in \overset{\frown}{BA'}$ | $\iff \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi$ |
| $x$ は第 3 象限にあります。 | $\iff P \in \overset{\frown}{A'B'}$ | $\iff \pi + 2k\pi \le x \le \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$ |
| $x$ は第 4 象限にあります。 | $\iff P \in \overset{\frown}{B'A}$ | $\iff \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \le x \le 2\pi + 2k\pi$ |
常に $k \in \mathbb{Z}$ が付きます。
周期関数
予備的な例。 実数 $x$ が与えられると、$n \le x < n + 1$ を伴う 2 つの連続する整数 $n$ および $n + 1$ が常に存在します。各実数 $x$ を実数 $x - n$ に関連付ける関数 $f$ を考えます。ここで、$n$ は**$x$ を超えない最大の整数**です。つまり、$f$ は「カンマ以降の部分」を返します。例えば：
$$f(0{,}1) = 0{,}1 \qquad f(1{,}1) = 1{,}1 - 1 = 0{,}1 \qquad f(2{,}1) = 2{,}1 - 2 = 0{,}1$$$$f(3) = 3 - 3 = 0 \qquad f(-5) = (-5) - (-5) = 0 \qquad f(7) = 7 - 7 = 0.$$一般的に：
| 間隔 | $f(x)$ | 間隔 | $f(x)$ |
|---|---|---|---|
| $0 \le x < 1$ | $x$ | $-1 \le x < 0$ | $x + 1$ |
| $1 \le x < 2$ | $x - 1$ | $-2 \le x < -1$ | $x + 2$ |
| $2 \le x < 3$ | $x - 2$ | $-3 \le x < -2$ | $x + 3$ |
等々。グラフは「鋸歯状」です。
すべての $x \in \mathbb{R}$ に対して $f(x) = f(x + 1) = f(x + 2) = f(x + 3) = \cdots$ であることに注意してください。すべての $x$ に対して $f(x) = f(x + p)$ となるような整数 $p$ が無限に存在します。この性質を持つ最小の数値$p > 0$は、$f$ の周期である$p = 1$です。 $f$ は周期的であるといいます。つまり、$p$ を変数に追加しても、$f$ の値は変化せず、$p$ が追加されるたびに繰り返されます。
定義周期関数と周期
次のような数$p > 0$が存在する場合、関数$f\colon A \to B$ は周期的です。
$$f(x + p) = f(x) \quad \text{para todo } x \in A.$$この条件を満たす$p$ の最小の値は、$p(f)$ で示される$f$ の周期です。
性質スタンプ
周期関数のグラフには、繰り返される曲線のセクションがあります。全部描くには、 この部分をスタンプにしてスタンプを押すだけです。 ピリオドはスタンプの$x$軸の長さです。