在定义循环函数之前，我们为循环配备了四个轴和一种语言来说明数字位于循环的哪个“部分”。然后我们研究所有这些函数的共同属性：周期性。

故事

这个词 正弦 有一个有趣的故事。 5世纪的印度天文学家，例如 阿里亚巴塔，他们设置了半绳，他们称之为 贾阿尔达 或者简单地 贾亚。阿拉伯语翻译者将该术语转录为 三角帆，仅用辅音书写， 新山。在 12 世纪，拉丁语译者阅读 贾布 —“折叠”、“乳房”—并将其翻译为 窦。这 切线 和 割线 他们的名字来自丹麦语 托马斯·芬克，1583 年，前缀 共同 余弦、余切和余割的值，意思是“补”，由下式确定： 埃德蒙·冈特 1620年。

周期函数作为研究对象而不仅仅是一个表格的想法，在 18 世纪随着欧拉而成熟，并在 19 世纪随着傅里叶而爆发，它表明任何周期运动都可以写成正弦和余弦之和（参见文章末尾的阅读）章）。

Aryabhata 雕像（476–550），后来的艺术表现。
Aryabhata 雕像（476–550），后来的艺术表现。Cpjha13 · 维基共享资源 · CC BY-SA 4.0
TD图 A[“贾亚-阿达
梵文：半弦"] --> B["jya
简短形式”] B --> C["jiba
阿拉伯语，没有正确的含义”] C --> D["jb
仅用辅音书写”] D --> E["贾布
读作“折叠”、“乳房””] E --> F["正弦
拉丁语, 世纪.十二”] F --> G["正弦"]
  1. Aryabhata escreve o Aryabhatiya. A meia-corda se chama jya-ardha, ou só jya, “corda de arco”.
  2. Na Casa da Sabedoria, as tábuas indianas são traduzidas para o árabe. Jya vira jiba, palavra sem significado em árabe, escrita só com as consoantes jb.
  3. Robert de Chester traduz para o latim as tábuas de al-Khwarizmi. Lendo jb como jaib — “dobra”, “seio” —, escreve sinus.
  4. Gerardo de Cremona e outros tradutores de Toledo vertem dezenas de obras árabes de astronomia; sinus se espalha pela Europa.
  5. Thomas Fincke publica a Geometria rotundi e dá nome à tangens e à secans.
  6. No Gresham College, Edmund Gunter propõe co-sinus e co-tangens; em 1624 usa pela primeira vez a abreviação sin.
A viagem da palavra seno, da Índia à Inglaterra. Clique numa etapa ou use Percorrer a viagem. 地图：© OpenStreetMap 贡献者
Aryabhata 的平板电脑：24 半弦，从 $3^\circ 45'$ 到 $3^\circ 45'$，在半径为 3438 的圆内。移动控件并将每个值与今天计算的值进行比较。

来源： 三角函数 (MacTutor) · Aryabhata (MacTutor) · 三角函数术语的最早使用 (Jeff Miller)。

在日常生活中

  • 日历。 一周中的日子有一个句点 7。如果今天是星期二，那么 100 天后就会是星期四，因为 $100 = 14 \cdot 7 + 2$。
  • **月相。**新月之间的周期大约持续 29,5 天；知道满月日期后，我们可以通过添加该周期的倍数来预测下一个满月日期。
  • 交通灯。 周期为 90 秒的信号总是以相同的顺序重复绿色、黄色和红色：瞬时 $t$ 的状态与瞬时 $t + 90$ 的状态相同。
周期性的日常现象：选择一种并查看其周期。

理论

循环的四个轴

在原点 $A$ 的三角循环中，我们关联四个轴。

Definição圆函数的轴

  1. 余弦轴（$u$）：方向$\overrightarrow{OA}$，从$O$到$A$的正方向。
  2. 正弦轴（$v$）：与$u$垂直$O$，从$O$到$B$的正方向，其中$B$使得$\overset{\frown}{AB} = \dfrac{\pi}{2}$。
  3. 切线轴（$c$）：平行于$v$穿过$A$，与$v$方向相同。
  4. 余切轴（$d$）：平行于$u$穿过$B$，与$u$方向相同。
使用轴 $u$（余弦）、$v$（正弦）、$c$（正切，由 $A$）和 $d$（余切，由 $B$）的循环。

象限

轴$u$和$v$将圆周分成四个圆弧：$\overset{\frown}{AB}$、$\overset{\frown}{BA'}$、$\overset{\frown}{A'B'}$和$\overset{\frown}{B'A}$。给定图像 $P$ 的实数 $x$，我们说：

Definição象限
$x$ 位于第一象限 $\iff P \in \overset{\frown}{AB}$ $\iff 2k\pi \le x \le \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$
$x$ 位于第二象限 $\iff P \in \overset{\frown}{BA'}$ $\iff \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi \le x \le \pi + 2k\pi$
$x$ 位于第三象限 $\iff P \in \overset{\frown}{A'B'}$ $\iff \pi + 2k\pi \le x \le \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi$
$x$ 位于第四象限 $\iff P \in \overset{\frown}{B'A}$ $\iff \dfrac{3\pi}{2} + 2k\pi \le x \le 2\pi + 2k\pi$

始终与 $k \in \mathbb{Z}$。

周期函数

**初步示​​例。**给定一个实数 $x$，总是有两个连续的整数 $n$ 和 $n + 1$ 以及 $n \le x < n + 1$。考虑将每个实数 $x$ 与实数 $x - n$ 关联起来的函数 $f$，其中 $n$ 是 不超过 $x$ 的最大整数 - 也就是说，$f$ 返回“逗号后面的部分”。例如：

$$f(0{,}1) = 0{,}1 \qquad f(1{,}1) = 1{,}1 - 1 = 0{,}1 \qquad f(2{,}1) = 2{,}1 - 2 = 0{,}1$$$$f(3) = 3 - 3 = 0 \qquad f(-5) = (-5) - (-5) = 0 \qquad f(7) = 7 - 7 = 0.$$

一般来说：

间隔 $f(x)$ 间隔 $f(x)$
$0 \le x < 1$ $x$ $-1 \le x < 0$ $x + 1$
$1 \le x < 2$ $x - 1$ $-2 \le x < -1$ $x + 2$
$2 \le x < 3$ $x - 2$ $-3 \le x < -2$ $x + 3$

等等。该图是一个“锯齿”：

$f(x) = x - n$的图形：每个齿都有宽度1。实心球属于图形；空的，没有。

请注意，$f(x) = f(x + 1) = f(x + 2) = f(x + 3) = \cdots$ 对于所有 $x \in \mathbb{R}$：存在无限多个整数 $p$，使得 $f(x) = f(x + p)$ 对于所有 $x$。具有此属性的最小数字$p > 0$是$p = 1$，即$f$的周期。我们说 $f$ 是周期性的：将 $p$ 添加到变量中，$f$ 的值不会改变 - 每次添加 $p$ 时它都会重复。

Definição周期函数和周期

如果存在一个数字 $p > 0$，则函数 $f\colon A \to B$ 是周期性

$$f(x + p) = f(x) \quad \text{para todo } x \in A.$$

满足该条件的$p$的最小值为$f$的周期，记为$p(f)$。

Propriedade邮票

周期函数的图形有一段重复的曲线。要绘制全部内容，只需用此部分制作一个图章并盖章即可。 周期 是图章的长度，在 $x$ 轴上测量。