区间和经典三角方程

过滤一个家庭

要求解$\sin x=1/2$至$[0,4\pi)$，首先获得族$x=\pi/6+2k\pi$和$x=5\pi/6+2k\pi$。然后施加范围的限制。解决方案是：

$$\frac\pi6,\quad\frac{5\pi}6,\quad\frac{13\pi}6,\quad\frac{17\pi}6.$$

末端的包含符号很重要。平方或乘以变量表达式后，将答案代入初始方程。

要求解 $a\sin x+b\cos x=c$，请使用 $(a,b)\ne(0,0)$、设置 $R=\sqrt{a^2+b^2}$ 并选择 $\varphi$：

$$\cos\varphi=\frac aR,\qquad\sin\varphi=\frac bR.$$

这是可能的，因为这两个数字的平方加起来为 1。使用加法公式：

$$a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\varphi).$$

当 $|c|\le R$ 时，方程有实数解。例如，$\sin x+\cos x=1$相当于$\sin(x+\pi/4)=\sqrt2/2$。返回 $x=2k\pi$ 或 $x=\pi/2+2k\pi$。

正弦或余弦之和可以转化为乘积。在 $\sin3x+\sin x=0$ 处，我们得到 $2\sin2x\cos x=0$。解决每个零因素并将家庭聚集在一起，消除重复。不要除以可能为零的因子。

平方 $\sin^2x+\cos^2x=1$ 得出：

$$\sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x =1-\frac12\sin^22x.$$

因此，$\sin^4x+\cos^4x=A$相当于$\sin^22x=2(1-A)$。如果$1/2\le A\le1$，则只有一个解决方案。提取正弦的两个可能的符号并求解。

将 $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$ 与 $u=\sin^2x$ 和 $v=\cos^2x$ 一起使用。像$u+v=1$：

$$\sin^6x+\cos^6x=1-\frac34\sin^22x.$$

当且仅当 $1/4\le A\le1$ 时，右侧 $A$ 的方程有解。

弹簧。 弹簧上质量的位置 $a\operatorname{sen}\omega t + b\cos\omega t$ 变成振幅为 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 的单个正弦曲线。
叠加的波。 两个相同频率、异相的声音叠加成一个波；幅度取决于滞后。
**范围内的答案。**在物理问题中，只有在一定范围内的解才有用，例如 $0^\circ$ 和 $90^\circ$ 之间的发射角度。

弹簧上的 $a\operatorname{sen}t + b\cos t$：振幅 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 的单次振荡。

1。根据参考文献 $\sin^4x+\cos^4x=3/4$ 求解练习 C.243。

检查分辨率 1

身份给出 $\sin^22x=1/2$，然后给出 $2x=\pi/4+k\pi/2$。标志 $x=\pi/8+k\pi/4$、$k\in\mathbb Z$。

2。根据参考文献 $\sin^6x+\cos^6x=7/16$ 求解练习 C.244。

检查分辨率 2

$1-\frac34\sin^22x=7/16$ 给出 $\sin^22x=3/4$。因此，$2x=\pm\pi/3+k\pi$ 或 $x=\pm\pi/6+k\pi/2$。

交互式三角学书中包含相同的主题以及所有演示和完整的练习列表：

本课程是对该主题的简短介绍；在书中，该理论还附有本章中已解决和提出的练习。